CHAPITRE III. — INTEGRALES DEFINIES

ce qui donne finalement

, 3 tang» — h 1

tang' —

2® Arcs de courbe.

282. Courbes planes. — Soit une courbe plane, définie paramétriquement, en coordonnées rectangulaires, par

considérons deux points a^ et A de cette courbe, correspondant aux valeurs ^0 ^^ ^ ^^ paramètre, et supposons que les fonctions ç(i) e\.i({t) soient continues dans rintervalle /o1> extrémités

Fig. 11.

CLo

comprises, ainsi que leurs dérivées premières. Admettons de plus qu*à un point de la courbe, entre ao et A, ne réponde qu'une valeur du paramètre ^ : il en résulte que, si avarie d'une manière continue et toujours dans le même sens de t^ à T, le point correspondant de la courbe va, d'une manière continue et toujours dans le même sens, de a^ à A.

Cela posé, marquons sur la courbe, en allant de a^ vers A, des points arbitraires ^1,^2, ..., «/>; je dis que le périmètre du polygone ai^a^a^* • 'Ciph. tend vers une limite déterminée, quand le nombre des côtés de ce poljgone augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.

Soit en effet tn la valeur de t qui correspond au sommet On] le côté anCtn+\ a pour longueur

c'est-à-dire, d'après le théorème des accroissements finis, en

désignant par 0 et t deux valeurs comprises entre t^ et tn^\ ,

Si 0 était constamment égal à t, la somme Sanan^i aurait pour limite (n« 261) l'intégrale définie

nous allons montrer que telle est en effet la limite, quels que soient 6 et t entre tn et ^/i4.i, en admettant, bien entendu, que ^'{t) et ^'{t) soient continues de / = /© à ^ = T. L'intégrale (i) étant la limite de la somme