CHAPITRE I. — généralités; différentielles

valeur principale dp de raccroissement de pression est donc

— dp = 0 dz.

D'ailleurs 5 est, comme on sait, proportionnel à/?, 8 = /r/?, et il vient

Les deux fonctions Log/; et — kz ayant des différentielles identiques, on en conclut (n° 21)

Log/> = — kz -h consl.,

on, sous une autre forme,

p irz Ce-*-,

C étant une constante. C'est la loi de Laplace.

"ifi. Exemples de calcul de différentielles. — Soient iiy v^ iv des fonctions de la variable x; toute fonction, ^{u, r, tr), de //, c, iv, est dite fonction composée de x. En vertu d'une règle de dérivation connue, la dérivée de 'f)(w, ç, w) étant

la différentielle sera le produit de cette expression par dx; c'està-dire, en observant que ii'^dx =^ du^

< I ) d^{u,v,^v)=o',^du-^ cpj, dv M- o,V dw,

formule importante, où '^)^, 0',., cp^, sont les dérivées partielles de o par rapport à m, r, (v; c'esl-à-dire que 'f^est la dérivée de ^ quand on regarde u comme variable indépendante, et c, w comme constants.

On en déduit les corollaires suivants :

Différentielle d'une somme :

d {u -^ V ->r , . .) = du -\- dç -\- . , .\

Différentielle d'un produit :

,/ X 7 j j ( du dv div\

d( uvw ) = vw du -+- uw dv H- uv dw = uvw ( 1 1 • I ;

5tO PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Dlfférenlielie d'un quotient :

du dv i' du — u dv

Diflereuliclle d'une puissance :

d{un^)= mu"^-^du;

Différentielles diverses :

d{s\nu) = cosa du^ d{cosu)= — s'inu du,

^(tan"rw)= t— du =(i -+- lang^tt) du,

, du

ti arc sin u =

darclanç'u = -y

d(e'*)= e*^ du, É^(Loga)= ~,

le Log étant népérien.

24. Remarque I. — La relation dy=^f'[x)dx montre que la dérivée/' (r), ou^^, dey par rapportât, est le quotient des différentielles dy et dx^ dy étant la différentielle de j^ qui correspond à raccroissement dx :

^'''' dx

Soient de même u une autre fonction de x, du sa différentielle correspondant aw même accroissement dx que ci-dessus; on a

d'où

"-=Tx'

, > dy

Or, d'après la théorie des dérivées, si l'on regarde j/' comme fonc-

lion de w, y^ : lîj, est la dérivée de y par rapport à u\ on peut

donc écrire :

dy yu=2û ®" dy=y^du.