r;,)v/cp'no)+4''*(e

tout revient à prouver que la différence

a pour limite zéro. On peut écrire cette différence

La fonction i('^{t) étant continue entre t^ et T, est uniformément continue dans cet intervalle et admet, pour tout nombre e, un module de continuité uniforme '/i(e) : si donc les différences tn^\ — tn sont, en valeur absolue, inférieures à vi(e), on aura

mod[4/'«{x)-iî;'«(e)]<6, ou, sous une autre forme,

k étant compris entre — i et -+- i; par suite

I v/cp'»(e)-4-f«{^)-v/?'^^)-H4''«(e)

( =/<p'»(ô)-+-fHe)-4-^e — /cp'«(e)-*-i^'«(e).

Or on a évidemment, en désignant cp'2(6)+ ^'^(9) par A,

y/A -+- Are < v/A -{- /Â7, si A\> o 5

v/Â < v/A -♦- Ae -+- /— A-e,

CUAPITRE m. — INTÉGRALES DÉFINIES. 289

si A* < o : il suffît, pour vérifier ces inégalités, d'élever au carré les deux membres de chacune déciles. Il vient donc, dans tous les cas,

mod(v/A -H Ae —\/x)^^modkz,

c'est-à-dire

En vertu de (2) et de (3) on a alors :

modoi)/&:ù(tn+i— t„), c*est-à-dire <v/ë(T — /o), et par suite S a bien pour limite zéro.

Donc le périmètre du polygone aoaia2«..A a une limite déterminée, qui est l'intégrale (1), et cette limite se nomme la longueur de l'arc a© A. Ainsi

(4) arcaoA= / 4^'? -^y^ dt,

283. Expressions diverses de rare. — Soit s l'arc de courbe; supposons que l'on prenne pour t l'abscisse a:, ce qui donne

on aura