I -\-y2 dXy

Xo et X étant les abscisses des deux extrémités de l'arc : mais, d'après le n" 282, il faut, pour que la formule s'applique, que l'ordonnée y de l'arc considéré n'ait qu'une valeur pour toute valeur de X comprise entre Xq et X, c'esl-à-dire que l'arc n'admette pas de tangente parallèle à Oy.

De même, si t =y^

En coordonnées polaires, on a :

a7=ocosu), ^ = psinu>,

p étant une fonction donnée de (o, p(ci>). Si nous supposons ^ = o),

a^O DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

nous aurons

x'((m)= p'(a>)costo — p sinto, j^'(a))= p'((i))siD(u -+- p coscu,

d*oii, pour l'expression (4) de l'arc,

*= / /p*^-pii^w»

o)o et Q étant les angles polaires des extrémités de l'arc.

281. Courbes gauches. — Pour une courbe gauche définie paramétriquement,

on établirait de même sans difficulté que l'arc, considéré comme limite du périmètre d'un polygone inscrit, a pour expression

to et t étant les paramètres des extrémités de l'arc; ce qu'on écrit aussi

Dérivons par rapport à la limite supérieure t, de l'intégrale; il vient (n" 265)

ds .//dxy /dy\* /^^Y

di^V \di) '^Vdi) ^\di) '

d'où, pour la différentielle de l'arc,

ds = ^dx^-i- dy^-\- dz*,

c'est-à-dire que la valeur principale, ds^ d'un arc infiniment petit est la même que celle de la corde, comme on l'a déjà vu pour une courbe plane au n® S4.

285. Coordonnées polaires et semi-polaires de l'espace. — Les coordonnées polaires d'un point M (/ig* yi) sont la distance