CHAPITRE III. — INTKGRALES DÉFIMBS

C'esl là une intégrale elliptique, car si l'on prend cos^ pour variable, en posant

cost-=u, ^ = arccosM,

dt=.-M=.

On ne peut donc exprimer Tare d'ellipse à l'aide des fonctions élémentaires.

288. Cyclolde. — C'est la courbe décrite par un point d'un cercle, de rajon a, qui roule, sans glisser, sur une droite.

Supposons que celte droite soit l'axe des x {fig- 74)) et que

Fig. 74.

l'origine, O, soit la position du point décrivant P, au moment où celui-ci se trouve sur l'axe de x : d'après les conditions du mouvement, on aura à chaque instant

arc MQP = OM.

Si donc t est l'angle MCP, on aura, pour les coordonnées x tly du point P, en projetant le contour OMCPO sur 0.r et sur Oy^

a: = OM — CP sin/ = a{t—%\nt), y = CM — GP cos/ = a{\ — cos/),

d'où l'on lire

L'arc OP est donc donné pcir

= / J'i rt* ( I — cos t)dt — I las'in-cif = l — 4^cos-j <

^94 DEUXlàME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

c'est-à-dire

s = 4 « ( I — cos - j >

car la valeur de / qui répond au point O est ^ = o.

La longueur de la boucle OTA s'obtient en faisant /=27t; c'est donc 8a, c'est-à-dire huit fois le rayon du cercle générateur.

L'aire ombrée, comprise entre la cycloïde, l'axe 0:r et l'ordonnée du point P, est

A= lydx = a^ j (i — cos t)^dt =z a* (t — 2sin^H h-sina^j ,

c'est-à-dire

A = a' ( - ^ — a sin ^ -4- 7 sin a ^ ) . \^ 4 /

L'aire de la boucle OTA s'obtient pour /=2'n; c'est donc 3ira*, c'est-à-dire trois fois l'aire du cercle générateur, comme Galilée l'avait découvert expérimentalement en pesant les deux aires.

289. Roulettes. — On nomme roulette la courbe engendrée par un point, lié invariablement à une courbe qui roule sans glisser sur une courbe fixe. Nous supposerons que la courbe fixe est une droite, et nous chercherons l'équation de la roulette.

Prenons la droite fixe pour axe des X et une origine O {/ig* 76)

Fig. 75.

quelconque. Figurons la courbe roulante (C) dans une de ses positions; soient T le point de contact avec l'axe, M le point qui décrit la roulette. Marquons sur (C) à partir de T, en allant dans le sens TO, un point Aq tel que arc TAq = TO ; ce point A^ est un point déterminé de la courbe (C), car, en vertu de Thypothèse du roulement sans glissement, c'est le point qui était en 0