CHAPITRE III. — INTÉGRALES DÉFINIES

alors que O était le point de contact de la courbe roulante et deOX.

Soient maintenant O'x et O'y deux axes rectangulaires liés invariablement à la courbe roulante, et soient, par rapport à ces CLces :

a et p les coordonnées fixes du point M; a: et y celles, variables, du point T, qui est le point de contact de la courbe et de la droite à Tinstant considéré; x et y sont liés par Péquation de la courbe roulante rapportée aux axes O'^ et O'y : on peut les supposer exprimées en fonction connue d'un paramètre /, a: = x{t),y=y{t);

s la longueur de Tare A© T : on a vu que s = OT;

6 l'angle de la tangente TX avec l'axe O'x.

Menons MQ parallèle à O'y; TQ parallèle à O'x^ et projetons la ligne TQM sur les axes (rectangulaires) OXet OY; il vient, en grandeur et signe,

TP = TQcose-4-QM sine = (a — a:) cos6 4-0 — j^) sinO, PM =— TQ sinO-f-QMcose =— (a — ar) sinô -+-(p — ^) cosO;

c'est-à-dire, en appelant X et Y les coordonnées de M par rapport aux axes fixes OX et OY,

J TP = X — 0T = X-5= (a — ar)cose-i-(p — j^)sine. •^ |PM = Y = — (a — a?)sinO-f-(p~ jr)cose.

D'ailleurs on a (n® S6)

dx = efscosOy dy = ds sinO,

ou, en divisant par dt,

ds ^ , ds .

ce qui donne

(a) -— = /a:'* -4- y* cosO = — , sinô = ^

^ ^ dt ^ -^ ' A'2-t-y* /PmTP*

les trois radicaux ayant le même signe, ce qu'il est important d'observer.

2g6 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

En portant ces valeurs de cos9 et sînO dans (i), on a

(a-3r)ar--h(P-7)y - (g - ar)/-^- ( p — ^) ar'

OU, finalement, en remplaçante par / -j^dt^ et ^ par sa valeur (2),

II est inutile de fixer la limite inférieure de Tintégrale qui figure dans X, car cela revient à ne déterminer X qu'à une constante près, c'est-à-dire à déplacer la roulette parallèlement à l'axe des X.

Les formules (3), où les trois radicaux ont le même signe, le signe -4- par exemple, donnent les expressions des coordonnées X, Y du point M en fonction d'un paramètre t\ la roulette est donc paramétriquement déterminée. Dans ces formules, x{t) Ql y(^t) désignent les coordonnées d'un point quelconque de la courbe roulante par rapport à des axes liés à cette courbe et sont, par suite, des fonctions connues du paramètre t.

290. Applications. — 1° Cycloïde allongée ou raccourcie. C'est la roulette décrite par un point lié à une circonférence roulante; elle est dite cycloïde allongée ou raccourcie selon que le point générateur est extérieur ou intérieur à la circonférence.

Les équations paramétriques de la circonférence étant

remplaçons X et^ par ces valeurs dans (3); il vient

X = — (a — R cos^) sin f -h([3 — Rsin/) cos/H- R^ = p cos/ — (zsinr+ R/, Y =— ( a— R cos^)cos^ — (P — R s\x\() s\nt = R — ,3 ein/— -aco?^

On peut, sans diminuer la généralité, supposer a ou ^ nul.

Si le point générateur est sur la circonférence, on fera J3 = o, a = R, et l'on retrouvera les formules paramétriques qui correspondent à la cycloïde.