CHAPITRE 111. — INTÉGRALES DEFIMES

Arc de la cycloïde raccourcie. — On a, en supposant ^ = o dans les formules précédentes,

a? = R^ — asin^, y = K — acos^,

d'où Ton tire dx et dy en fonction de t et rf/, ce qui donne : ds^= rf/»[(R — acosO'-i-a'sin»r] = û^/«(R«-f- a»— aaR cos/),

et, en remplaçant cos^ par cos-; sin^-»

ds= dti/{ R — a)«cos« - -+- (R -+- a)5 5in« - -

Posons - =: o; nous obtenons

ds = 7,do /(R — a)»cos>© -+- (R-+-a)>sin*^.

C*est une intégrale elliptique de même forme que celle qui donne l'arc d'ellipse; l'arc de cycloïde raccourcie ou allongée s'exprime donc par un arc d'ellipse.

L'arc qui répond à un tour complet de la circonférence génératrice s'obtient en faisant varier l'angle ^ de o à 27: et, par suite, ç de o à n; cet arc est donc

/ /(R — a)*cos*îp -+- (R -+- 3t)>sin«<pcf<p;

on voit, en se reportant au n° 287, que sa longueur est égale à celle de l'ellipse dont les demi-axes sont R — a et R -f- a.

Pour une cycloïde allongée, les demi-axes de l'ellipse corres-^ pondante seraient a — R et a -f- R.

2,^ Chaînette. — C'est la roulette engendrée par le foyer

d'une parabole roulante. On a, pour la parabole, x= - — > et, en

y supposant que y soit le paramètre t, y' = i ^ j;'= — • Portons

ces valeurs dans les formules (3), en y remplaçant a et ^ par les

coordonnées du foyer, à savoir - p el o; il vient :

- y ( /)« -f- .>'* ) r /— . dr

et

Dans Texpression de X, remplaçons Tintégrale par sa valeur obtenue au n** 286; il vient, après réductions,

et, en ajoutant la constante — ~^^%Pi C6 qui ne fait que déplacer la courbe parallèlement à Taxe des X,

L*équation cartésienne de la chaînette s'obtient en éliminant^ entre (4) et (5), ce qui se fait ainsi. On a, par (5),

y-^^ y^-h p^= peP ,

d'où, en vertu de (4),

si l'on porte enfin cette valeur de y dans (4), il vient, en élevant

Fig. 76.

au

carre et en posant y- = /? ,

On dit que l'axe des X {fig* 7O) est la base de la chaînette^