CHAPITRE III. — INTEGRALES DEFINIES
3° Volumes et aires des s ut^ faces de révolution*
291. Volumes. — Soit une courbe plane, ^ =j^(d?), qui, en tournant autour de Ox {fig» 77), engendre une surface de révolution; admettons sans définition précise, pour cette surface, la
Fig. 77.
notion du volume compris entre un parallèle fixe, d'abscisse Xq^ et le parallèle mobile d'abscisse x. Ce volume est, dès lors, une fonction de x^ que nous désignerons par V(.r).
Il est aisé de calculer la valeur principale de son accroissement AV, quand x devient x -j-dx] AV est, en effet, le volume engendré par la révolution du trapèze curviligne MM'P'P, compris évidemment entre ceux qu'engendrent les rectangles MNP'P elN'M'FP, c'est-à-dire entre tzy^dx ei'K{y -\- ^y^dx. Donc
Tzy^dx < AV < T.{y-\-i^yydx.
Les deux termes extrêmes ont même valeur principale, izy^dx^ laquelle est, dès lors, celle de AV; de sorte que
dW = T.y^dx d\
ou
dx
= -yK
On en conclut, en remontant aux primitives,
V= I Tz y^dx -h consi.= 1 izy^dXj
puisque V(x) doit s'annuler pour x = Xq.
292. Aires. — De même, l'aire comprise entre les parallèles d'abscisses Xq et x, sur la surface de révolution, a pour accroissement l'aire engendrée par la révolution de l'arc MM', qui a même valeur principale que l'aire engendrée par la corde MM' (tronc de
3oO DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.
cône); si donc A(j:) est l'aire considérée, on a
dX = valeur principale de 'irMM'(^ "^ y -^ ^y)^
c'est-à-dire
dk = iT.y y/i -^ y^ dx ;
d'où, en vertu du raisonnement fait plus haut,
A = jm / y\J\ -H ^'- dx.
293. Exemples. — i° Volume de V ellipsoïde de révolution. Le volume compris entre le parallèle x et l'équaleur (j: = o)
est, puisque y = - y/«* — x-,
Le volume total de rellipsoïde s'obtient en faisant j: = a et en doublant le résultat :
a** y4/>e de r ellipsoïde de révolution, — L'aire comprise entre Téquateur et le parallèle x est
A = 21: / ^ / 1 -h y^ dx = 2 TU / ^ y'^-^ y^y^dx. Or Téqualion de l'ellipse méridienne donne
d'où
A = 27:—- / i/a'^ia'^— X*) -h ù^x-dx = it. — 1 /a* — c^x^dx en posant toujours c-= a^ — />-. On est ramené à l'intégrale
— : x^ dx,
qu'on sait calculer, et qu'on a obtenue en particulier aux n"* 278 et 279.
