I. - LIMITES INFINIES

294. Défixiition. — Si la limite supérieure, par exemple, est infinie, on définit l'intégrale par la relation

I y(ar)rfa7 = limite, pour/? = -H 00, de / /(x) dxj

définition qui n'a de sens, bien entendu, que si le second membre a une limite, quand p tend vers l'infini; tout revient donc à voir si cette limite existe.

Or, on ne peut donner de règle générale permettant de reconnaître, dans tous les cas, l'existence de la limite; c'est ainsi que, dans la théorie des séries, il n'y a pas de règle générale pour reconnaître la convergence. Comme dans la théorie des séries, on ne peut qu'indiquer des règles particulières, qui reposent sur la comparaison de l'intégrale proposée avec des intégrales à limite supérieure infinie, qu'on sait, a priori, être, ou non, finies et déterminées.

295. Observations générales. — i° Supposons que la fonction y(j?) ait une limite, A., quand x tend vers l'infini; A doit

f /(^)rfx puisse

être finie et déterminée.

3o2 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Supposons, en effet, A non nul, et, pour Gxer les idées, A >> o; à partir d'une valeur suffîsamment grande de Xj x = q, la fonc* tion/(a;) restera comprise entre deux nombres positifs non nuls, A| et Aq ; l'intégrale proposée, prise entre q et/>, est donc comprise entre les deux intégrales

Al / dx cl Af / dx,

c'est-à-dire entre A| (/? — q) ei A.2{p — y), quantités qui tendent vers l'inGni positif en même temps que p.

2"* Cette condition n'est d'ailleurs pas nécessaire, c'est-à-dire que l'intégrale considérée peut avoir une valeur finie et déterminée sans que la fonction f{x) ait une limite (nulle) pour j: = ao.

Par exemple, si f{x) change une infinité de fois de signe quand x tend vers +oc, c'est-à-dire si la courbe j^ =/( a?) traverse une infinité de fois l'axe des x^ l'aire indéfinie comprise entre cette courbe, l'ordonnée fixe ^=:a et l'axe O^ a pour expression

A= / f{x)dx=zco\\sl.-^a\ — aj-haj —

ai, a», . . . {fig» 78) étant les aires des boucles situées au-dessus

Fig. 78.

de O^; aa, ^4, . . . celles des boucles situées au-dessous (n® 274). L'aire totale A se présente ainsi sous la forme d'une série, et, pour qu'elle ait une valeur finie et déterminée, il est nécessaire que le terme général an tende vers zéro : cela peut se produire sans que l'ordonnée f{x) de la courbe tende vers zéro, pour X iufini; il suffira que les bases Kn^n^\ des boucles successives aient pour limite zéro.

Citons, comme exemple, V intégrale de Fresnel,

Jf smx^dx^