CHAPITRE I. — généralités; différentielles. Il

Par suite, si l'on désigne par dy et du les dinerenlielles de y et de it pour un même accroissement de la variable indépendante x dont dépendent ces deux fonctions : i® la dérivée dey par rapport

à // est ésrale à -.— ; 2'* si Ton donne à u l'accroissement du, la dif- ^ du '

férentielle correspondante dey, considérée comme fonction de Uy est la même que celle qui répondait à l'accroissement dx, pour y considérée comme fonction de x.

C'est là une double propriété importante des difTérentielles premières, et que l'on ne retrouve plus dans les différentielles d'ordre supérieur.

2o. Remarque II. — Géométriquement, on sait que f\jo) est le coefficient angulaire de la tangente MT, menée à la courbe y =/(^x) au point M d'abscisse x.

Si donc on mène la parallèle à Oy d'abscisse x 4- dx, le triangle rectangle TMP {Jig'' 3) donne

TP = IMP tangîvi = dx/'(x).

Donc dy= TP; c'est-à-dire que dy est rigout^eusement égal à

Fig. 3.

Taccroissement de l'ordonnée quand on passe du point d'abscisse .r, sur la courbe, au point d'abscisse x -{- dx sur la tangente à la courbe au point x.

On peut observer que, (juand on passe de x k x -\- rf.r, l'accroissement A/ de l'ordonnée est NP : comme ^/r = TP est la valeur principale de Ajk, la différence dy — Ar, c'est-à-dire TN, est un infiniment petit d'ordre supérieur à dy, c'est-à-dire à dx.

En d'autres termes : la portion d'ordonnée comprise entre une

courbe et une tangente est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier, par rapport à la distance du point de contact à Tordonnée. considérée.

On retrouvera et Ton étendra ce résultat dans la théorie générale du contact des courbes.

26. Différentielle seconde. — Soient x et Xi deux valeurs de la variable indépendante; comparons les différentielles d'une même fonction ^ = /*(x), pour ces deux valeurs :

Comme dy et dy^ dépendent de dx et de dx\^ qui sont deux infiniment petits indépendants l'un de l'autre, on ne peut les comparer qu'en établissant une liaison entre dx et dx^ : il est naturel de supposer dxs = dx^ c'est-à-dire d'admettre que les deux accroissements de x sont les mêmes.

Dans cette hypothèse, formons la différence çly^ — dy :

dy,-dy=\f'{x,)-f'{x)]dx.

Supposons maintenant que x^ tende vers Ji", en faisant Xx^=x-\-Zx\ on aura, d'après le théorème des accroissements finis, et en désignant par /*''(:r) la dérivée de /*'(jr) :

dyx — dy = f {x -\- ^Zx) dx oj*,

et, à la limite, en faisant tendre ùx vers zéro.

Valeur principale de (^v'i — dy) = fix) dxZx.

Le premier membre est donc un infiniment petit, dépendant du produit de deux infiniment petits, dx et oj:, qui, d'après la manière même dont on les a introduits et définis, sont arbitraires et n'ont entre eux aucune liaison : nous les supposerons égaux (bien que cette hypothèse ne soit pas indispensable) afin de simplifier l'écriture; il vient ainsi

Valeur principale de {dyx — dy)— f" (x) dx^.

Le premier membre, valeur principale de la difl'érence des différentielles dy^ et dy^ qui correspondent respectivement aux valeurs X + dx et X de la variable et au même accroissement rfx, se