CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DÉFINIE. 3o

qui est finie et déterminée, ainsi que nous le verrons plus bas (n** 301) : iciy(a:), c'est-à-dire sin^^, ne tend pas vers zéro, et oscille entre — i et -h i, quand x tend vers l'infini; comme

d'ailleurs f{x) s'annule pour x=^)Jmz^ la base, Kn^n+xi d'une boucle a pour longueur

/7 r— / (/H-Olt — /lit IC

/(n-4-i)7t — //iir=-^^==^ ^ = -^y

V^(ai H- i;:r -t-/mr /(/n-i)ir-f-//»'ït

quantité qui tend bien vers zéro pour n infini.

Il n'est même pas nécessaire, pour que l'intégrale soit finie, que la fonction /{x)y dans le cas où elle n'a pas de limite quand x croit indéfiniment, présente une infinité de changements de signe; elle peut demeurer constamment positive, par exemple : mais alors il faut que les intervalles pendant lesquels /(a?) reste supérieure à à un nombre quelconque. A, si petit soit-il, aient une somme, c,

finie; car l'intégrale / /(x)dx est évidemment supérieure

à Ao*. Nous donnerons plus loin (n*" 309) un exemple de ce cas singulier.

Dans les applications, on n'a, en général, à étudier que des intégrales pour lesquelles /{x) tend vers zéro, et voici, à leur 5ujet, les règles particulières les plus usuelles.

— 9 qu'on

peut calculer directement. Cette intégrale (en supposant a > o, pour éviter la discontinuité, qui correspondrait à a; = o, de la

fonction — j est finie et déterminée pour /i > i , infinie pour /i< i .

Cela résulte immédiatement des relations

^ dx — = log/? — loga (sin = i).

On déduit de là, par comparaison, le théorème suivant, qui est d'une application fréquente.

3o4 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

297. Théorème. — Si /{x) peut se mettre sous la forme - — » la fonction ^{x) ayant une limite finie et non nulle pour x infini, V intégrale j f{x)dx a une valeur finie et déterminée

quand n> \, et une valeur infinie quand /i< i .

La dëmonstration résulte immédiatement des remarques du numéro précédent. Soit, en eflet, A la limite de 4(^), A étant par hypothèse difTérenl de zéro. A partir d^une valeur suffîsamment grande de j:, ^ = q^ la fonction ^{x) restera comprise entre deux nombres A| et A2, ayant le même signe que A; supposons, pour fixer les idées, que ce soit le signe +• On aura dès lors (n® 263, Corollaire III)

Pour /i^ I, les deux intégrales extrêmes augmentent indéfiniment avec/?, comme on l'a vu au numéro précédent, c'est-à-dire que l'intégrale intermédiaire croît aussi indéfiniment. Pour/i^i, les deux intégrales extrêmes tendent vers une limite finie pour p infini, de sorte que l'intégrale intermédiaire reste finie. D'ailleurs cette intégrale.

dxj

augmente avec /?, car tous ses éléments sont positifs en vertu.de l'hypothèse que ^{x) reste compris entre A| et A2; c'est donc une fonction qui croît avec /?, sans pouvoir dépasser un nombre fini; elle a, par suite, une limite finie et déterminée poury^ =ao.

On a un théorème pareil lorsque la limite inférieure de l'intégrale est — « 00, et aussi lorsque les deux limites sont respectivement — 00 et 4-00. Les remarques suivantes s'appliquent également à ces deux cas.

298. Remarque I. — Dans le cas de /i >- 1 , il n'est pas néces-

f ^^——^dx ait une valeur finie et dé-