CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION d'iNTÉGRALE DÉFINIE. 3o

lerminée, que ^(^) ait une limite (inie et non nulle pour x infini ; ilsujffit que ^{x) demeure fini (* ).

En effet, dire que ^{x) reste fini, c'est dire que ^{x) demeure compris, pour a: >> </, entre deux nombres A| et A2. Si A| et Aa sont de même signe, la démonstration ci-dessus est valable sans modification et prouve que Tintégrale proposée a une valeur finie et déterminée.

Si A| et A2 sont de signes contraires, A| < o, A2 >► o, c'està-dire si •i(^) change de signe une infinité de fois entre x = q

et .r = -|- oc, la courbe y=- ^- a la forme ci-dessous. Elle est

l-'ig. 70.

iJ=u-

iif

comprise, par hypothèse, à partir de Tabscisse x=^q, entre les deux courbes

Al

L'aire A, qui représente Tintégrale / ^-^ dx^ est donnée par la série

ai, «2, . . . ayant la même signification qu'au n" 295, 2*.

(') C'cst-à-dirc que la fonclion <{;(j:) peut avoir une limite nulle, ou même n'avoir aucune limite, pourvu qu'elle reste comprise entre deux nombres finis.