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3o6 DEUXIÈME PARTIR. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

La somme s des lermes positifs de celte série,

s = ai -h ^3 -t- rtj H- . . . ,

est finie et déterminée, puisqu'elle est évidemment inférieure à Taire finie Ao / -^ ; il en est de même de la somme s\ des

termes négatifs, pris en valeur absolue,

car s' est inférieure à l'aire finie (modAi) / -^« Or il est clair

que si deux séries, s et 5', à termes positifs, sont convergentes, la série obtenue en retranchant des termes de la première les lermes de la seconde, dans un ordre quelconque,, est convergente et a pour somme s — s' . L'aire A est donc finie et déterminée.

299. Remarque II. — Dans le cas de /î < i , il n'est pas nécessaire, pour que l'intégrale / - — ^dx ait une valeur infinie,

que *\{x) ait une limite finie et non nulle pour x infini; il suffit, a fortioi i, que i(x), pour x>q, garde un signe constant cl reste supérieur en valeur absolue à un nombre positif A|.

Si, au contraire, '!^{x) a une limite nulle pour x infini, ou si '!^{x) ne garde pas un signe constant quand x tend vers -4- oc, il y a doute, et l'intégrale peut avoir une valeur finie et déterminée, comme on va le montrer par un exemple.