CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION d' INTÉGRALE DÉFINIE

Pour établir que 1 a une limite, construisons la courbe

sin:i7

à droite de Oy.

Elle se compose d'une infinité de boucles, de plus en plus aplaties, coupant Ox aux points d'abscisses o, ir, 2?:, . . • , mz^ ....

Soient, en valeur absolue, «i, «a? ^s? • • • {fig' 80) les aires

Fi g. 80.

ombrées des boucles successives; on a

I = ai — ai H- aa — ^4 -h . . . .

Or les quantités ^i, a^t . • • vont en diminuant; car, à un élément —^dx de l'aire Oi, par exemple, correspond l'élémcnl

sin j?

»in(7: -f- ar) ,

—r-^ dx. OU — -—

en valeur absolue, puisqu'on a évidemment

- dx^ de Faire «2, inférieur au premier

m 0(1 — r- dx > mod dx^

xn

pour toute valeur positive de x.

De plus, Taire Up tend vers zéro lorsque p tend vers l'infini, car, en valeur absolue, cette aire est inférieure à celle d'un rectangle de base 7t, dont la hauteur décroît indéfiniment.

L'intégrale I se présente ainsi sous la forme d'une série à termes alternativement positifs et négatifs, qui décroissent en valeur absolue et ont zéro pour limite; elle a donc une limite finie et déterminée.

301. Remarque I. — Ce résultat est d'autant plus intéressant que l'aire totale des boucles situées au-dessus de 0;r, à savoir

3o8 DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

^'i -h «3-h..., est infinie, de même que Taire totale des boucles situées au-dessous; on établit ce point sans difficulté (*).

Remarque II. — En particulier, si Ton suppose /i = -, on voit que rinlégrale / —^ dx est finie. Par le changement de variable x=:u'^ elle se réduit au àouhXe AqV intégrale de F r es ne l {n^ ^!S6)

qui est dès lors finie et déterminée. Il en est de même de rinlégrale analogue

/ cosa*ûf«,

ainsi qu^on l'établit aisément.

Jr* dx ■ — 7 (modsinx) est

infinie, et il suffira pour cela de montrer, puisque niod sinx> sin^j;, que

est infini. Or on a

rf sin=;r ^ /•/' cos= j; ^ fP dx

ce qui est infini pour p =z o:^ puisque n<\. D'ailleurs,

rf's'in^x rf'cosTx __ rfçQsix 7i ^" ^ Ji ^^ ^~ Jt ^^ ^'

ce qui est fini, pour y? = oo, comme on le voit en posant 2a; = u et en faisant un

raisonnement pareil à celui du n" 300. Il en résulte que les deux intégrale»

/•• sin-x r* cos-x , . . r . ^

/ T~ "*^ ^^ I T~ "*^ ^^^^ munies, pour nS. i.