II. — DISCONTINUITÉ DE LA FONCTION

302. Cherchons maintenant à étendre la notion d'intégrale définie au cas de la discontinuité de la fonction.

r* Si/(x) est discontinue pour la limite supérieure t, on définit Tintégrale par la relation

/ /(J") ^J" — limite, pour E = o. fie / /(x)dXy

définition qui suppose que le second membre a une limite déterminée et finie, quand s tend vers zéro par valeurs positives.

2** On définit de même l'intégrale, dans le cas où la fonction est discontinue pour la limite inférieure, par la relation

f{x) dx = limite, pour e' = o, de / f(^) ^'-^j

quand e' lend vers zéro par valeurs positives.

3° Enfin, si la fonction est discontinue pour une valeur c, comprise entre a et 6, on posera

f /(j?) rfor — limite (le / f{x)dx-\- f fi-^) dx^

£ et s' tendant vers zéro indépendamment Tun de Tautre, et par valeurs positives.

303. Observons quey(:r) peut être discontinue de deux manières : i** ou bien, pour c = c, /{-v) a deux valeurs finies différentes, c'est-à-dire que /{c — s) et f{c-\- e) ont respeclivement des limites diflerentes, lorsque e lend vers zéro par valeurs positives ; 2" ou bien, pour j: = c, f{x) devient infinie.

Dans le premier cas, la courbe y =i f(^x) a la forme cidessous (Jiff. 8i).

L'intégrale

j = lun / -h lim /

est, malgré la discontinuilé, finie et déterminée, car Tintégrale / tend, pour e = o, vers l'aire curviligne A, et Tinté-

grale / lend de même vers l'aire A'. Il en résulte qu'une discontinuité de cette nature n'empêche pas l'intégrale d'être

déterminée.

Fig. 8i