CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION d'iNTÉGRALE DÉFINIE. 3ll

On déduit de là, par une méthode semblable à celle des n*** 297-299, les propositions suivantes :

305. Théorème. — Si f{x) peut se mettre sous la forme f .^^ la fonction i({x) étant finie et non nulle pour x=^c^

V intégrale 1 f{x)dx {où a<.c<Cb) a une valeur finie et

déterminée quand /i < i , et une valeur infinie ou indéter^ minée ( * ) quand /i ^ i .

Remarque I. — Dans le cas de /i <C i? il n^est pas nécessaire, pour que Tintégrale ait une valeur finie et déterminée, que la fonction ^(^) soit finie et non nulle pour x=^c\ il suffît qu'elle soit finie.

Remarque II. — Dans le cas de /i^i, il n'est pas nécessaire, pour que l'intégrale soit infinie ou indéterminée, que la fonction 4(j?) soit finie et non nulle pour a: = c; il suffît que, lorsque x tend vers c, i^^x") finisse par garder un signe constant et par rester supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif non nuL

306. On peut d'ailleurs déduire directement ces propositions de celles des n®* 297-299, en ramenant, par un changement de variable, le cas de la discontinuité à celui de la limite infinie.

D*après la définition

i f{x')dx = \\miiedc j f(x)dx-\- j f{x)dx,

on a deux limites à étudier, Tune pour e = o, l'autre pour e'= o. Soit d'abord l'intégrale

(•) Nous disons infinie ou indéterminée parce que l'inlégrale considérée est, pcir définition, la limite de la somme de deux autres intégrales, qui sont toutes deux infînics, mais dont les signes peuvent être contraires.

posons-y

elle devient

et l*on est ramené, puisque e' tend vers zéro par valeurs positives, au cas de la limite supérieure infinie et positive.

Donc (n*** 297-299), si 2 — n est supérieur à i, c'est-à-dire si /i<Ci, rintégrale (i) est finie et déterminée, pourvu que

♦Wc-H - j reste fini pour u infini, c'est-à-dire pourvu que •i(^)

reste fini pour a: = c. De même, l'intégrale (i) est infinie si 2 — n est égal ou inférieur à 1, c'est-à-dire si /?^i, et si<};(x), quand x tend vers c, garde un signe constant et reste, en valeur absolue, supérieur à un nombre positif non nul.

On Iraiterait de même l'intégrale / , en posant j: — c = >

et l'on arriverait à des conclusions identiques.