CHAPITRE IV. — EXTENSION DK LA NOTiON d'iNTÉGRALE DÉFINIE. 3l

n étant au moins éaral à l'unilé : d'ailleurs la fonction ^, a une

valeur déterminée, non nulle, pour x = c^ et dès lors, puisque /i ^i, l'intégrale n'a pas de valeur déterminée (n** 305).

Si une limite est infinie, si 6 = -|- oo par exemple, il faut, pour que l'intégrale (2) ait un sens, non seulement que o(x) ne s*annule pas entre <? rt -|-oo, mais encore que le degré du numérateur, F(d:), soit inférieur, de deux unités au moins, au degré du dénominateur ç(^). Car on peut écrire

Aq -+- Ai — -f- . . .

Bo-H Bi h. ..

la quantité entre croclicls a une limite finie, non nulle, ,— >

pour j: infini; il faut et il suffit donc (n**297), pour que l'intégrale (2) ait une valeur finie et déterminée, que p — m soit supérieur à l'unité, c'est-à-dire, puisque m etp sont entiers, qu'on ait

/•^~ F('.r) En particulier, pour que l'intégrale / — '■ — dx ait une

valeur finie et déterminée, il faut et il suffit :

1® Que îp(cr) n'ait pas de racine réelle;

2** Que le degré de ^(jc) surpasse, de deux unités au moins, celui de F(ar).

308. Exponentielles. — On sait qu'une puissance positive quelconque de e^ est infiniment grande par ra|)port à toute puissance de x, pour x infini ; c'est-à-dire que le produit e'^'^x" tend vers zéro quand x croît indéfiniment, quel que soit n, pourvu que m soit positif.

Cela rappelé, désignons par a une quantité positive quelconque, et considérons l'intégrale

e-mx^ndx (W>0).

3l4 DËI\IÈME PARTIE. — PlilNCIPËS DU CALCUL INTÉGRAL.

Elle est finie, car on peut Técrire

a «' rt

et la fonction ^(x), c'est-à-dire e~^^x^^'^^ a zéro pour limite, quel que soit /i, pour x = H- do : donc (n° 298), l'intégrale est finie el déterminée. On a supposé a positif pour éviter la discontinuité qui correspondrait à :r== o, si /i était négatif. Si a était nul et n négatif, Tintégrale

dx (n'>o)

serait, à cause du point de discontinuité x = o^ infinie pour n'^ i ; elle serait finie et déterminée pour /i'< i (n° 305); car, pour x= Oj la fonction <|^(^), c'est-à-dire e'"'"-'", est égale à l'unité. En particulier, l'inlégrale

/ e-^x^-^ dx,

qui sera étudiée dans le Cours de seconde année comme fonction de a (fonction eulérienne), est finie et déterminée lorsque a est positif; elle est infinie lorsque a est nul ou ni^gatif .