CHAPITRE I. — GÉXÉR\LITÉS; DIFFÉRENTIELLES. Jt'i

nomme différentielle seconde de la fonction y^ et se désigne par d'j'. Ainsi

(2) d'^ y = f {X) dx\

On voit que l'on obtient d-y en diflcrentiant l'expression f'{x') dx^ de dy^ et en traitant dans ce calcul Je facteur dx comme une constante : c'est ce qui fait dire que d-y est la diflerentielle de dyj lorsqu'on suppose raccroissement dx indépendant de x^ mais cette manière de voir ne saurait, sans obscurité, être présentée comme la définition de la différentielle seconde.

27. Géométriquement notre définition de la différentielle seconde s'interprète ainsi.

Considérons toujours la courbe y z:^ f(^x) et menons les ordonnées qui correspondent aux abscisses a:, Xx^^ x -{- dx^ et

Fig. 4.

X| -H dx = :r -H idx] on a sur la figure, en traçant les tangentes en M et M, {fig* 4)^

dy = T\\ dy,^-'ï,P,:

par suite

dy,-dy=-.T,\\-l\\

et la différentielle seconde est, par définition, la valeur principale de T| P| — TP, dx étant l'infiniment petit principal.

28. Différentielle seconde d'une fonction composée. — Soit y = ^(^u^ ^, (v); w, (>, (V étant des fonctions de:r : on sait (n°23) que

(3) dy = \du-^lidv-¥-C dw,

A, B, C étant les trois dérivées partielles de (p. Proposons-nous de

a4 PRKMIÈRK PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

calculer d'^y. On peut écrire

dy =( S.u' -^l^v -^ Ç.w')dx,

u' ^ i'', ... étant les dérivées de w, r, ... par rapport k x\ et par suite, d'après la relation de définition (2),

d^y = ( \ a' H- B p' H- C w')'^ dx^ = ( Ku' -\- k' u' -^. . ,)dx^'.

Or, en vertu des relations u^ dx::=du^ h! dx^=dS.^ u" dx'^=d'^Uy on peut écrire

( 4 ) d^y z=z P^d'^u-^dkdu'^Bd^v-\- dBdv-^Cd^w-^dCdw,

ce qui montre que d'-y s'obtient en diflerentiant selon les règles ordinaires Texpression (3) de dy^ et en écrivant d'^u^ d^^v, d^w^ pour les différentielles de du, dv, div,

29. Remarques. — 1" La différentielle seconde de la variable indépendante x est nulle, car la dérivée seconde de la fonctions est égale à zéro. Ainsi d'-x = o\

:i° En vertu de (2), la dérivée seconde, y, de y par rapport

d* V à x^ est le quotient de d'^y par dx^^ et s'écrira ;y-V

3** Soient r et u deux fonctions de x\ dy et du leurs différentielles pour le même accroissement dx] on a vu (n"24) que dy est encore la différentielle de y quand it est pris pour variable indépendante à la place de :r, et subit l'accroissement du.

Au ccmtraire la différentielle seconde d'^y ne reste pas la même quand on change la variable indépendante : cela tient à ce que Ton a fait sur cette variable (n°26) l'hypothèse dx^-=zdx^ qui n'entraîne pas dus = du. On devrait donc, pour préciser, écrire dl.y ou dly,en mettant en évidence la variable indépendante.

On peut se rendre compte autrement de ce fait.

Soit

u étant fonction de x. On en tire

dy = o'{ii)du\

différentions encore les deux membres en prenant x pour va-

CUÂPITRE I. — généralités; différentielles. 25

viable indépendante; il vient, suivant Ja règle du n° 28,

d)cy = ^''{u)du^-^^'(u)dlu.

D'ailleurs

o''{u)du^r=clly,

en vertu de (2); par suite

ce qui montre bien la non-identité des deux différentielles secondes Ae y.

30. Différentielles d'ordre supérieur. — En raisonnant sur la différentielle seconde comme on Ta fait sur la différentielle première, et en désignant par f'"{x) la dérivée troisième de f{x)^ on définit de même la différentielle troisième :

et en général

dny z=z/"(x) dx",

d'où

f"{x) étant la dérivée d'ordre n de /(x).

Dans le cas d'une fonction composée, on calcule d^y en différentiant l'expression (4) de d-y^ et en écrivant d^ u, d^v, ... pour les différentielles de d'^ w, rf- i>, ....

Ainsi, si

on aura

dy = o'(u)du; d^y — r^" (u) du^-^ o'(u)d^u\ d'^y = o'" ( Il ) du^ -+- 3 .5* ( H ) du diu-^^'(u) d^ u ;