CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION D*INTÉGRALE DÉFINIE. 3l
Je (lis que Tintégrale qui figure au second membre a une valeur finie, A, indépendante de n ; posons-v, en effet, :r = rt. -h w, elle devient ^
égale évidemment à
0 (sinî3)^
/•• dz
"0 (sin«5)!»
et tout revient à démontrer que celte dernière intégrale esl finie. Or, enlre o et -> la fonction (sin-^;;)'"^ ne devient infinie que pour 2 = u, et Ton peut écrire
'0 (sin*;ï)' *-» 5»
la fonction ^(5), c'est-à-dire [-^z] ' ^^^ égale à i pour c = o, el Texposant^» de -s, esl inférieur à i ; l'intégrale est donc finie et déterminée (n® 303). Par suite on a, d'après (3),
/( X ) dx
n^Tz'-
Il en résulte évidemment que la valeur de Fintégrale
est inférieure, quel que soit/>, à la somme de la série
somme qui est finie, puisque la série Sai""^ est convcrgente(n**130). L'intégrale est donc finie (|ucl que soit /?, cl, puisqu'elle augmente avec/>, ses éléments étant tous positifs, elle a, pour p infini, une limite finie et déterminée. c. q. f. d.
3l6 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.
De même, a fortiori y l'intégrale
dx
qu'on déduit de la précédente en augmentant le dénominateur, est finie, et, par suite, déterminée : ici, la fonction y(^) ne devient pas infinie entre .r = t: et :c = oo, mais elle atteint une infinité de fois la valeur i.
310. Calcul des intégrales généralisées. — La formule fondamentale
(I) r f{x)dx = V{b)-V{a\
OÙ F(jc) désigne une fonction primitive de /(.r), est-elle applicable au cas où la fonction y(.r) est discontinue entre a et 6, cl au cas d'une limite infinie?
1° Supposons d'abord une limite infinie, 6 = -1-do; on a, si /(»>p) est continue entre a et -|- oo.
^ /^x)dx=rip)-F{a),
et cela quelque grand que so\l p ; par suite, en passant à la limite,
/{x)dx = F(x)— F (a).
La formule (i) est donc applicable si la fonction /{x) est continue entre les limites d'intégration et si F(oo)«a une valeur déterminée.
2° Si /(x) est discontinue entre a et 6, pour j; = c, on a, en la supposant continue entre a et c — s, et entre c H- s' et 6,
f /(x),lr = F(c-t)-F{a),
f /{x)dXr.F{b) — F(C-4-6'),
d'où, en ajoutant membre à membre et faisant tendre e et e' vers
aj
