CHAPITRE IV. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DÉFINIE. 3l

zéro,

/ f{x)dx = F(6)— F(a)-+-limF(c — £) — limF(c-hÊ').

Si F(j;) csl continue pour x = c^ F(c — s) el F(c + e') ont une même limite F(c), et l'on a encore

r /(x)(ix=F{ù) — F{a).

La formule est donc applicable si la fonction F(a:)est continue au point de discontinuité de /(a:); elle peut être en défaut dans le cas contraire.

Soit par exemple /(jr)=:f ^; cette fonction est discontinue

pour j: = o, mais sa primitive, F(j;)=-a:*, est continue au

même point ; la formule est donc applicable, et Ton a, par exemple,

^ dx — - 1,37* j, = o.

Au contraire, si y(x) = ar~^, la primitive, F(^) = — -> est

discontinue pour ^ = o; la formule peut être en défaut entre deux limites qui comprennent zéro. Elle donne effectivement un résultat inexact :

r^"" dx /i\-^*

ce qui est absurde, car le premier membre, somme d'éléments positifs, ne peut être négatif. En réalité, ~ devenant infini pour a: = o, et l'exposant 2 étant > i , l'intégrale proposée est infinie.

311. Un exemple d'une nature analogue est celui de l'intégrale

* •^■(-) rfx.

où fi^x) désigne une fonction de x^ continue entre a et 6, saut peut-être en certains points, où elle devient infinie.

3l8 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

L'intégrale indéfinie esl arc lang/(j:); pour préciser, et puisque les diverses valeurs de l'arc tang diffèrent entre elles de la quantité constante A"7r, nous prendrons pour intégrale indéfinie la fonction Arc tang/(x), la lettre A désignant l'arc unique compris

entre — - et H — dont la tangente est f{x). Celte fonction,

Arc tang/(a:), est une fonction continue de x^ à moins quey(jr) ne passe par l'infini en changeant de signe : car si f{x) passe par exemple de -|-oo à — oo, Arc tangy*(a:) passe brusquement

de H a •

Si donc f{x) ne devient pas infinie quand x varie de a à 6, ou si f{x) passe par Tinfini sans changer de signe, la fonction Arc tang/(j?) sera continue Ae x =^ak x = by et l'on reconnaît comme plus haut que la formule (i) est applicable, en sorte que

Cette formule est-elle encore vraie si /{x), quand x varie de a à 6, passe par l'infini en changeant de signe?

Supposons que, de a à b^f{x) passe une seule fois par l'infini, pour ^ = c, en allant de -|-co à — oo, par exemple. On peut alors appliquer la formule ci-dessus dans chacun des deux intervalles a, c — £ et c -h e', 6; il vient ainsi

f'ix) \L;rf^x)'^'^ "" '^^^ lang/(c — e)— Arc lang/(rt),

f Y^~n{x~)'^'' = Arclan-/(7;>) — Arc tang /(c -+- e').

Or, par hvpolhèsc, /{c — s) tend vers -h oo quand e tend vers zéro; Arc lang/(c — e) tend donc vers -; de même, puisque f{c-\-z') tend vers — oo pour e'= o, Arc tang/(c -h s') tend

vers Il vient donc, en ajoutant membre à membre les deux

relations précédentes, et en faisant tendre e et s' vers zéro,

/ TIlT/TT^t; d^ = Aï'c tang/(ô)— Arc tang/(a)-+- tt.