I. - INTÉGRATION DES SÉRIES; DÉRIVATION
313. Intégration. — Il peut èire utile, pour calculer une inlé- ^rale définie, de développer en série la fonction à intégrer : riiitégrale de la série est-elle la somme des intégrales des termes de celle-ci? Voici à ce sujet le théorème fondamental.
Théorèmk. — Uintégrale, entre des limites finies, d^ une série uniformément convergente dans un intcr\,'alle qui comprend ces limites, s^ obtient en faisant la somme des intégrales des termes de la série.
Soit en efl'et S(.r) la somme d'une série uniformément convergente (n'* 136), pour une valeur x comprise dans Tinlervalle de convergence uniforme; désignons par a et 6 deux quantités de ce même intervalle. On a
S(.r)= M,(.r)-f- WîC^) -\-. . .-+- w«(j")-h R,i(j^);
(i) / S(x)d.r = I U)( x)dx -{-...-}- I u,i(j')djr -h j l\„(x)dT,
La série S{x) étant uniformément convergente, on peut prendre N assez grand pour que modR,i(a:) soit inférieur à un nombre donné ty pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, cl pour loute valeur de n égale ou supérieure à jN ; on a ainsi, dans ces conditions,
/ K„ ( ir)^^ à^ I dx = t{h — a ).
mod
Donc si {b — a) est fini, c'est-ù-dire si les deux limites a et b sont finies, on pourra prendre N asicz grand pour que le premier
membre soil aussi petit que l'on veut, pour toutes les valeurs de n au moins égales à N; et par suite, d'après (i), la série indéfinie
pour somme la quantité / S(x)dx.
aura pour somme la quantité / ^{x)dx, c. q. f. o.
31'i. Il est indispensable d'introduire dans la démonstration précédente la notion de convergence uniforme.
Voici, par exemple, un raisonnement qui figure dans un ancien Traité d'Analyse. On écrit la série
S(^)= ai(a:)-h. . .-h a,i(x)-i- R„(ir);
puisqu'elle esl, par hypothèse, convergente, R/i(a:) tend vers zéro pour n infini. Si maintenant on intègre les deux membres entre a et 6, il vient
Jf S{x)dx= I Wjrfj7H-...H- / Undx-^ j R/jC/x, n ^ a ^ ti «^ a
et, puisque R;, tend vers zéro à mesure que n augmente, / R,, dx
tend aussi vers zéro. Donc. . ..
La faute de ce raisonnement est la suivante.
Pour une valeur de x comprise entre a et 6, la série S est convergente; c'est-à-dire que R/t(^) tend vers zéro, à mesure que n augmente, x restant fixe. Mais si l'on {d\l à la fois varier net jt, rien ne prouve que R«(x) tende vers zéro; et, comme dans l'intégrale
dx
X est essentiellement variable, on n'a pas le droit de dire que l'intégrale a pour limite zéro, quand n augmente indéfiniment.
