CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DÉFINIES. 3a

pour laquelle ou a

(^e reste tend vers zéro quand x a une valeur fixe réelle quelconque, et quand n augmente indéfiniment : car pour j: = o, H/ï i (wC) est nul, quel que soit n\ et pour x non nul, Texponenlielle (\ -\- x'^Y'^^ y de base supérieure à Tunité, est infiniment grande par rapport à n^ quand n tend vers Tinfini. Néanmoins l'intégrale

ne tend pas vers zéro, lorsque n augmente indéfiniment, car on a

expression qui, pour /i = oo, est égale à -•

316. Dérivation. — La question de la dérivation des séries est liée à la précédente; on va établir que :

Théorème. — Si une série S (a:) est convergente dans un intervalle ab, et si la série

des dérivées de ses termes, est non seulement convergente, mais uniformément convergente dans cet intervalle, ^^{x) sera ta dérivée de S{x), pour toute valeur de x comprise entre a et b.

On a en efl'et, en désignant par^ une quantité comprise entre a et 6,

1 I.(x)djc= I u\(x)dx-^,.,-^ I u'n{x)dx '^-. . .,

puisque la série 2(4?) est uniformément convergente; ou

I S(ir)^/j- = [ Ml (/)—//! (a)] -+-. ..-+-[ M« (7 )—a;,(cr )]-:-...,

c'est-à-dire (n« 129, 6")

f y:(T)dx = S(y)-^S{a),

relation qui montre bien (n® 26o) que S(jk) est la dérivée, par rapport à j', deS(^) — S(a), c'est-à-dire de S(j^).

317. Remarque. — Quand la série S(:r) converge, la série des dérivées de ses ternies peut ne pas converger. Ainsi la série

est convergente, puisque les modules de ses ternies sont inférieurs

aux termes de la série convergente dont le terme général est — ; mais sa dérivée ne saurait être représentée par la série

cos.r -h cos4.r -f-. . .-i- cosn^x -+-..., ([ui n'est pas convcrgenle.

ipplications.

318. Développement de arc si nj*. — On part de la formule du binôme généralisée (n° 161)? pour m = »

Cette série de puissances a pour cercle de convergence le cercle de rajon i (n^ 161), et converge dès lors uniformément dans tout cercle intérieur; en particulier elle converge uniformément lorsque X est réel et compris entre — p et -f-p, p étant aussi voisin de i (ju'on veut, mais inférieur à i. On peut donc intégrer la série entre o et ^r, pourvu que mod^r soit plus pelit que p, ce qui donne

Arc sm.r — :r - — -- — h. . .-r

}. S '2.4... i- fi 'f- fi -+• I

déve!op|)erneiit valable mire — p et -^-p, c'est-à-dire enlrc — i cl H-i , ces limites pouvant être exceptées.