II. — DÉRIVATION SOUS LE SIGNE f

320. Soit y(jc, a) une fonction de x^ dépendant d'un paramètre a; l'intégrale

(I) \= f f{X,OL)dx,

ti

où les limites a et b sont, soit des constantes absolues, soit des fonctions de a, est une fonction du paramètre a. Lorsque l'intégration de /{x^ a) par rapport à x est impossible à l'aide des fonctions élémentaires, on définit ainsi une /onction nouvelle, dont il est généralement impossible de donner d'autre expression que l'expression (1) : on va indiquer comment on peut former sa dérivée par rapport à a.

321. Règle de Leibnitz. — Supposons d'abord les limites a ei b indépendantes de a, et donnons à ce paramètre un accroissement h; il vient, pour l'accroissement AI de l'intégrale,

At- r [f(^x,%-^h)-f(x,a)\dx,

3a6 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

et la dérivée de I par rapport à a est la limite, pour A = o, de l'expression

f(T,ct-hh)—/(x.a) ^

Or la quantité sous le signe / a pour limite, quand h tend

vers zéro, x et cl restant fixes y la dérivée partielle fi{x^ a), c'està-dire que l'on a :

e désignant une fonction de x^ a et A, qui a zéro pour limite quand h tend vers zéro, x et 7. demeurant constants. D'après cela

AI r* r^

Dans les anciens Traités de Calcul intégral, on se borne à faire observer que l'intégrale / tdx tend vers zéro, puisque e tend lui-même vers zéro avec A, et il reste

d'où cette règle, due à Leibnitz :

Règle. — La dérivée de V intégrale 1 /{x, oi)dx par rap-

port au paramètre ol^ lorsque les limites a et b sont des constantes absolues, s^ obtient en remplaçant^ sous le signe f , la Jonction f par sa dérivée, prise par rapport au paramètre.

322. Mais le raisonnement ci-dessus est insuffisant : e ne lend vers zéro avec h que si x (aussi bien que a) reste fixe, et dans

l'intégrale / tdx^ x varie de a à 6. On n'a donc pas le droit

d'affirmer que celle intégrale ait pour limite zéro : un cas analogue s'est déjà présenté dans la question de l'intégration des séries. Pour que l'intégrale eût sûrement zéro pour limite il faudrait