CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DÉFINIES
que, pour loules les valeurs de h de module suffisamment pelil,
pour toutes les valeurs de :r comprises entre a et 6, et pour a = ao,
la fonction e(j:, a, h) demeurât inférieurCj en valeur absolue,
à un nombre donné, s', aussi petit qu'on voudrait; l'intégrale
/ tdx serait alors inférieure à e'(6 — a), et aurait bien zéro
pour limite (*). La règle serait alors applicable, et donnerait la dérivée de I, pour a=:ao. 11 paraît difficile de préciser les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doit satisfaire la fonction f{x^ a) pour qu'il en soit ainsi; aussi se bornera-t-on à indiquer un cas particulier, très étendu, où la règle s'applique en toute sécurité.
323. Ce cas est celui où la fonction f{x^ a -{- A) vérifie la formule deTajlor réduite aux deux premiers termes :
Cela suppose (n° o3) :
1** Que y(^, a) et /!x{^i a) sont des fonctions continues de /a variable a, lorsque a varie entre deux limites ai, a2; et cela quelle que soit la valeur attribuée à x entrera et b;
2** Que/gJ', est finie et déterminée quand a reste entre ai etaa, et X entre a et b.
On a en ce cas
dx
= C f'^(x,7.)dx-\-- f /;r(x,(x-\-Oh)dx.
Or, si aucune des limites a, b n'est infinie, la dernière intégrale, au second membre, est finie, puisque, par hypothèse, /â» ^^ devient infinie pour aucune des valeurs de a et a: respectivement comprises entre ai et aj, a et 6 : le produit de celle intégrale
(') A condition encore qu'aucune des limites, a et 6, ne soit inTinie.
3'i8 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.
par - Il tend donc vers zéro avec /i, el, à la limite, on a bien
pour loules les valeurs de a comprises entre «i et a^.
321. Si les conditions du n° 323 (ou des conditions analogues) ne sont pas remplies, ou si Tintégralc donnée a une de ses limites infinie, on ne j)eut appliquer avec sécurité la règle de dérivation ; une discussion spéciale peut devenir nécessaire dans chaque cas j)articulicr.
323. Remarque. — La remarque suivante simplifie cette discussion dans le cas des limites infinies, si Ton suppose remplies les conditions du n° 323.
On a en ellet, d'après (2), a et b étant supposés finis,
(3) ~ = r /;(^,a)c^xH- ^ C /^,(x,aL-hOh)dx.
Supposons que b tende vers l'infini; la limite du second luembrc, pour h = o, sera celle de son premier terme, à savoir
si rintégrale
/ fi{or,ix)dx,
a une valeur finie : en ce cas donc, la règle de Leibnitz sera sûrement applicable.
Voici au contraire un exemple d^ illégitimité de la règle de dérivation, dans le cas d'une limite infinie.
Soit l'intégrale
dx,
qui est finie et déterminée (n" 300); c'est dès lors une constante absolue, que l'on démontre d'ailleurs être égale à ^» Faisons le
