CIIAPITHE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DÉFINIES. S'AQ

changement de variable x = aj^% a étant une constante positive;

il vient

sin:r , r «ma v ,

La dérivée du second membre par rapport à a doit être nulle, puisque celte intégrale a pour valeur une constante absolue; or en appliquant la règle, on trouverait, pour cetle dérivée,

I cos 2 r <:/;-,

expression évidemment indéterminée.

3î26. Si les limites a et ^ de Tinlégrale proj)Osée (i) sont, non plus des constantes absolues, mais des fonctions du paramètre a, on trouve la dérivée en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées. On a

rfl 01 db ô\ lia r^

di ob (ioL Ou di

j f'^{T,7.)dx.

La dérivée, -tt' de / /(x, 7.)dx par rapport à la limite supé-

lîeure, 6, élant/(6, a) (n" 265) et— étant de même — /(^', a), il vient

d\ ^ , db ^ ^ da C ' r. , . ,

«- rt

Intégration des différentielles totales.

327. Problème. — Etant donnée une expression de la forme X c/x -f- Y r/K -f- Z c/;;, où X, Y, Z sont des fonctions de trois variables indépendantes x^ y, z^ reconnaître s^il existe une fonction u^ de x^ y^ z^ dont cette expression soit la différenrentielle totale, et trouver cette fonction u, si elle existe.

On a supposé, pour simplifier Técriture, qu'il n'y avait que trois variables indépendantes; Ténoncé s'étend de suite à n variables.

Traitons d'abord le problème pour deux variables seulement, l'expression donnée étant X dx -f- Y dy.

33o DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Si la fonction u existe, on aura par définition

du ^" V

Dérivant la première de ces relations par rapport à x et la seconde par rapport à y^ on obtient

Ou- ôy Oy ây Ox dx

d^où la relation de condition

^^^ Oy Ox

On trouve ainsi une condition nécessaire pour que Xrfj: + Yrfy soit une différentielle exacte, du\ je dis que cette condition est suffisante, c'est-à-dire que, si elle est vériGée, la fonction u existe : pour l'établir on va former cette fonction.

La dérivée de u par rapport à x doit être égale à X, c'est-à-dire

du dx

( 5 ) u = I Xdx-hv,

que - =X*, on en déduit, en intégrant par rapport à x,

jÇo étant une constante absolue, choisie à volonté, et i> une constante par rapport àx, c'est-à-dire une /onction dey; dans l'intégrale, y est traité comme constante.

11 faut maintenant déterminer v de manière que y soit égal à Y : à cet effet, dérivons les deux membres de (5) par rapport à j>^, en appliquante règle de dérivation sous le signe / . On aura

ù\ , dv

Oy Oy

Mais, d'après l'hjpothèse (4), -^ = y-; donc