CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DÉFINIES. 33 1 OU
Celle relalion n'offre aucun caraclère dMmpossibililé, puisque les deux membres sonl des fondions de y seul, x ayant disparu : on en lire, en inlégrant par rapport ky^
yo désigne une constante absolue, quelconque, et C une constante par rapport à y^ c'est-à-dire une constante absolue, puisque p n'est fonction que de y.
On a ainsi pour u Texpression
(6) u— I \{x, y)dx -{- I \(xo, y) djr-^ const.
Au second membre, Xo ely^ sont des constantes arbitraires que l'on choisira de manière à simplifier les calculs; dans la première intégrale, j^ est traité comme une constante. La fonction u existe donc, et est donnée par (6), ce qui établit le théorème ( ' ).
328. Passons maintenant au cas de trois variables indépendantes. On voit, comme plus haut, qu'il est nécessaire, pour que \dx -{-Y dy -^Tjdz soit une différentielle exacte, que Ton ait identiquement, quels que soient j?,j^, :;,
Oy ox Oz ôx* dz ~ ô)'
Je dis que ces conditions sont su/fisantes : montrons pour cela que, si elles sont vérifiées, la fonction w, définie par la formule analogue à (6),
u= I \{x,y,z)dx (8)
(') Deux fonctions, u et U, données par (6) et répondant à des valeurs différentes de x^ et jKo» o"t mêmes dérivées, X et Y, par rapport à x et y ; elles ne différent donc que d'une constante, c'est-à-dire que le second membre de (6) ne contient, en réalité, qu^une constante arbitraire, addilive.
a pour dérivées partielles, par rapport à x^ y\ z^ les fonctions \, Y, Z : dans la première intégrale y et :;, dans la seconde w, sont traités comme des constantes. On a immédiatement
au
Kn second lieu ;
£= f X7^-^-^Y(ro,r,^),
0\ àY et, puisque -— = - »
Ty^.f 'jj'/^-Y(x,j',.)
= Y (.r, j, 5) — \{to, 7, -) -+- V(ro, J, 5 ) = \(t, y, z ). Enfin
Ou r* à r^ d
OU, en vertu de (7),
-JZ = -—7.(x, y,z)(/x-¥- / yZ{Xo,yjZ)dy-]-7.(aro,yoj^)
= Z(j^-, ^, ;;)— Z(j"o,r»-)-+-Z(.ro,r' «)— Zi.ro. ^Ko, -)-+- Z(j-oO'o, -)
Les formules (7) et (8) s'étendent immédiatement au cas d'un nombre quelconcjue de variables indépendantes.
