DE PLUSIEURS VARIABLES

31. Soit 5 =/(Xyy) une fonction de deux variables indépendantes; on désigne par /^ sa dérivée partielle par rapport à x,

•iG PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

c'esl-à-dire la dérivée de f{x^ y) lorsque x est regardé comme variable indépendante^ et y comme constant. On définit de même/'. La dérivée partielle de/j. par rapport à x s'écrit/*,; sa dérivée partielle par rapport ày,/J^.; et Ton définit de même fy^.

32. Théorème. — On peut intervertir arbitrairement l'ordre des dérivations.

Montrons d'abord que f'jcy^=^fyx\ ^^ ^ ^^^ effet, établissons que chacun des deux membres est la limite de l'expression

lorsque h et /{ tendent vers zéro d'une manière quelconque.

l'osons

l'expression (5) s'écrit

ou, en vertu de la formule des accroissements finis, c'est-à-dire

Appliquons encore la même formule; cette expression s'écrit

et sa limite, pour h et k nuls, est bien f'^ à condition toutefois que /j.^ soit continue au point ^,7^ On établirait de même que (5) a pour limite /Jj,, en posant {p, =/(.r + //,r) — /{-^^y)' Donc

xy Jyx'

Remarque» — Cette démonstration suppose que l'on peut appliquer aux fonctions o et cpi, /[. et /^ la formule des accroissements finis : il faut donc que /, /^., f' soient des fonctions con-