III. - SÉRIE DE FOURIER

330. Lemme. — On a, lors(|ue m est un entier non nul, Ci) / s i II //i ./•</./• — Cc(>s//i.r)'''*"*^= o,

résultat qui subsiste évidemment pour m = o. De même

r <>, SI m >(), (2) / c(i>/nx dx = <

f I 'IT., SI m = o.

Soient maintenant /n et n deux entiers positifs; on a

si 11 /nx cosnx dx

= - 1 sin ( //i H- /i ).r ^/./" -H - / sin ( /;? — n }x d.r = o ;

,'t k-i'K . - /i -f- 2 TT

f cos ( //i — // ; j" — ros ( /;/ -f /« ^y | </.r — o, si m n ,

— -, SI m = n ;

= - I [co>(m — /*,»./•-+- cos( m -K /t)j'] </j? = o, si m / n.

cos/n.r oos//.r dx

= TT, SI m = II.

331. Cela posé, supposons qu^une fonction, /(x), soit représentable, entre x = ae{x=ia--\- stt, par un développement uniformément convergent de la forme

( /( J") = Ao-+- Ai cosj' -4- Aj COS2J?-!-. . .-4- A„ cos/ix -f-. . . ( H- Bi sinx -f- B, sin^j--!-. . .-hBrt smnx -+-...:

il est aisé de calculer les coefficients A et B. Intégrons en effet les deux membres de (G) entre a et a -h ait^ l'intégrale du second membre est la somme des intégrales des différents termes, puisque la série est supposée uniformément convergente ; il vient ainsi

fix) dx = 2 7: A 0,

car tous les autres termes, au second membre, sont nuls, en vertu

de (i) cl (2).

Donc

^0= ~z / f(x)clx,

ce qui détermine Aq.

Pour calculer A„, multiplions les deux' membres de (6) par cosnxy et intégrons ensuite de a à a-^-in] il vient, en tenant compte de (5),

/ fi^) cos n X dx = TT A« ,

car tous les autres termes, au second membre, sont nuls, en vertu

de (3) et de (5).

De même

/ /(x)i^ii\nx dx = TzB,t^

ce c|ui donne

^'i-+-2:: ^rt-f-17;

(7) A,,— - / /{x) co^nx dxy B,, = - / /{x) s'innx dx.

Telles sont les expressions cherchées des coefficients.

332. Théorème de Dirichlet. — Ces calculs supposent essentiellement que f [x) est dévcloppable en série de la forme (6) et