CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DÉFINIES
pour certaines valeurs de x^ on pourra se borner à mener les ordonnées qui correspondent à ces valeurs de Tabscissc.
337. Interpolation. — On remplace la courbe yz=f(x) par une autre qui s'en rapproche entre les limites d'intégration, y = ?(^), et Faire correspondant à celle-ci fournira une approximation de Taire cherchée.
Supposons que, pour des valeurs x = ai^ a^t . > , , a„, comprises entre a et 6, la fonction f{x) ait des valeurs ^1,^2, • • •,yw • on peut choisir pour ^(x) le polynôme d'ordre n — i qui, pour x = ai^ ..., a,iy est égal à ^,, ...,^/i, et dont l'expression classique est
(at— aj).. .(ai — a/,) (««— «i)-- .(««— ««-1)
Si Ton intègre ce polynôme entre a et 6, on obtient, pour valeur approchée de l'aire primitive, l'expression
b 9(2-) dx =71 II -f-7, I2 -h . . . -^ 7„ I«,
en désignant, pour abréger, par I|, . . . , I;, les intégrales
' (T — at).-.(x — a„)
= r If-'"
ai). . .{ai — a„)
dXf
qui ne dépendent pas de la fonction /(x), et dont le calcul théorique n'offre aucune difficulté, puisqu'elles portent chacune sur un polynôme entier en x.
338. Méthode de Cotes. — Il n'est pas nécessaire de calculer les intégrales 1 dans chaque cas particulier; le calcul peut êtrt' fait une fois pour toutes à l'aide d'un changement de variable. Posons, en effet,
x = a -\~ (b — a ) 0, d'où dx =(b — a) dd] rt, — rt -h (6 -- a) Oj, aj= a -^- (b — a) 0*,
il vient
ï (h n^ r' (e-Q«)(0-Q»).->(0-Oit) ^
'^"^ Vo (e.-6,)(6«-6,)...(6«-6,o'''
Les quantités 0|, 829 • . • . 0/, sont égales respectivement aux rapports dans lesquels a^^ a^, . • • divisent l'intervalle a6. Si donc on adopte toujours le même mode de division, on pourra calculer une fois pour toutes les intégrales qui figurent dans l'expression de I| , ...,!,;; appelons-les K, , . . . , R,, ; il viendra
/ v^(x)dx =(6 — a)(K,^i-r-... r-Knyn)'
Cotes suppose qu'on a divisé l'intervalle ab en parties égales, et que le point «i coïncide avec <7, le point a,, avec h,
Pig. 83.
ih
JO
On a alors
Développons le calcul en supposant /? = 3^ il vient
K,-= l -^-—r ^0- / (26»-36-4-i)rf6= \
et, de même,
Ivj = — 9
