CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES
linues aux environs du point x^ y et que f'.^ f'y^. soient finies et déterminées en ce point. De plus, comme on Ta dit explicitement, il faut aussi que f'^y. el/^^. soient continues au même point.
Généralisation, — Si Ton a plus de deux indices de dérivalion, on peut intervertir deux indices consécutifs. Ainsi je dis que
( ^ ) fxyx xy = Jxxy xy
Car d'après le théorème ci-dessus
(7) Jxyx — J xxyi
puisque les deux membres, en posant /j.= di, sont ^yx ^^ 4'1>- Dérivant maintenant les deux membres de l'identité (7) par rapport à or, puis par rapport à j^, on obtient bien la formule (6).
Il en résulte que Ton peut intervertir arbitrairement l'ordre des indices de dérivation, car on pourra toujours passer d'un ordre à un autre par une série de permutations effectuées entre deux indices consécutifs.
Le théorème s'étend de lui-même aux fonctions de 3, 4? • • • variables indépendantes.
33. Différentielle première totale. — Dans la fonction 5=y(j?,j^), donnons à^ et jk» variables indépendantes, des accroissements h et k\ raccroissemcnl As, de 5, peut s'écrire
et, par la formule des accroissements finis,
\z = hf'^{x H- OA, y -h k)-^ A/;{x, y -+- O'A).
Siy^, ety' sont continues pour les valeurs x, y des variables, on a
e et s' étant infiniment petits en même temps que h et A'; il vient
alors
\z = hJ'j.-\- kfy->r th-\- z' k.
Les deux derniers termes sont d'ordre infinitésimal supérieur,
l'un à hf'j.^ l'aulre à kf'^ c'est-à-dire que les deux premiers termes donnent la valeur principale de A5 (*). Ces deux termes forment ce qu'on nomme la différentielle première totale de c, pour les valeurs j?, y et les accroissements li et k des variables; on la désigne par rfs, de sorte que
En particulier si 5 = jr, on a
ou
dx = A,
et de môme
dv = A\
c'est-à-dire que les différentielles des variables indépendantes sont égales à leurs accroissements 5 on peut alors écrire dz :
(8) dz=f'^dx-^f;.dy.
3i. Notations diverses. — Les dérivées partielles de z z= f(^x^y)
s écrivent
fx <?l /vi O" -!c> -V (LagRANGE),
ùf Of Oz Oz , , .
-•- cl -— » ou -— , -- (Jacori). Ox Oy Ox Oy
De même les trois dérivées secondes de z seront désignées par
/Sj.î, Zf-y^ '**>' ( LAGRANGE ) j
(') Si dans Tcxprossion d'une somme infiniment petite Iz qui dépend de deux ou plusieurs infiniment petits/*, A% ... indépendants entre eux, on supprime tout terme (|iii est eertainemenl d'un ordre infinitésimal supérieur à un autre, l'expression restante est ce que Ton peut appeler valeur principale de Aj. Par exemple, pour les infiniment petits
5 /i 4- a A 2 4- 3 hk + i k\ 4 /i^ -h 3 hk + 2 hk\ hk -+- fi li" k H- 8 k\
les valeurs principales sont respectivement
5 A 4- 2 k\ 4 li^ -h 3 hk, hk h- 8 k\
<ar, dans la première expression, Zhk est d'ordre supérieur à 5/t, et 4^'' d'ordre supérieur à 2A-; dans la seconde 2/tA-' est d'ordre supérieur à 3/iAr; dans la troisième G/i^Ar est d'ordre supérieur à hk.
