Points simples sur les courbes ou surfaces. — Étant

donnée la courbe plane

pour Téludier au voisinage du point M, d'argument Iqj on supposera toujours que les fonctions x(t)^ y{0 ^^°^ développables en séries de Tajlor, convergentes dans un certain cercle, ordonnées suivant les puissances croissantes de / — ^0 ' admettons, de plus, qu'à un point de la courbe, pris au voisinage de M, ne réponde qu'une seule valeur du paramètre /.

Le point M sevdi dit simple si les quantités ^'(^o)?^(^o) ^^ sont pas nulles à la fois. Pour établir que cette définition est d'accord avec la notion géométrique ordinaire, coupons la courbe proposée par une droite, de coefficient angulaire quelconque, tracée à une distance infiniment petite du point M :

e désignant un infiniment petit, et cherchons en combien de points, voisins de M, cette droite rencontre la courbe. A cet effet, remplaçons, dans l'équation de la droite, X et Y para:(/) et^'(/), et posons, pour simplifier, t — /o=9î nous obtenons l'équation

et nous devons chercher combien cette équation en 0 a de solutions voisines de zéro.

Le premier membre, par hypothèse, est une fonction de 8, y*(Ô), développablc en série de Tajior, convergente à l'intérieur d'un certain cercle; si x\to) et y {t^) ne sont pas nuls à la fois, le