CHAPITRE I. — THEORIE DU CONTACT; ENVELOPPES

développement de/(6) commence par un terme en 9, sinon par un terme en 9", n étant au moins égal à 2. Or on établira dans le Cours de seconde année que, si une série de puissances, ./"(S), commence par un terme en 9", Téquation y(9)= e, lorsque e est assez petit, est satisfaite pour n valeurs de 9 voisines de zéro.

Il résulte de là que, si n est supérieur à Tunité, une droite quelconque, tracée à une distance infiniment voisine du point M, coupe la courbe en n points voisins de M ; par suite, le point M n'est simple que si n est égal à i, c'est-à-dire si ^'(^0) et^'(^o) ne sont pas nuls simultanément.

De même, sur la courbe gauche (3), le point d'argument t^

sera simple si J:'(/o)>^'(^o)i ^'(^o) "^ ^^^^ P^^ °"'^ ^ '^ lo\s^ en supposant toujours les fonctions jc(^), ^(/), 5(^) développables en séries de Tajior convergentes, suivant les puissances de t — Repassons enfin au cas de la surface définie par

Nous supposerons qu'au voisinage de Uq^ Vq les trois fonctions ci-dessus sont développables en séries de ïaylor convergentes, ordonnées suivant les puissances de u — Uq et \f — t'o? et nous dirons que le point M, d'arguments Wq, Pq? est simple si les trois expressions

. , ày âz âz dy dz à.r dx àz dx dy dy dx

du dv Ou ôv ' du Ov du dv ' du dv du di>

ne s'annulent pas simultanément pour u = Uq, r = t'o»

On établit encore que cette définition concorde avec la conception géométrique; la démonstration rigoureuse est toutefois plus compliquée que la démonstration analogue indiquée pour une courbe.

Bornons-nous ici à vérifier ce résultat dans le cas où les fonctions x{uj ^)i J'i^ff ^')î ^(''î ^) '**^"^ rationnelles en u et i^; la surface (2) est alors algébrique. Si les trois expressions (4) s'annulent pour u = Wo, i^ = Vq, cela exprime géométriquement que les trois courbes algébriques, d'équations

où u, i^ sont les coordonnées courantes, courbes qui passent par

le point Uoj Tq, ont même tangente en ce point; par suite, deux quelconques d'entre elles y ont au moins deux intersections confondues. Coupons alors la surface (2) par une sécante parallèle à un axe de coordonnées, Oz par exemple, issue du point M, d'argumenls ;/o, ^'o\ les arguments it^ v des points de rencontre vérifient les deux équations

ei, en vertu de ce qui précède, la solution u = Mo, v = r© comple pour deux, au moins. Sous une autre forme, toute sécante parallèle à un des axes de coordonnées et issue de M a, avec la surface, deux intersections au moins confondues en M : ce point n'est donc pas simple, dans le sens géométrique du mot.