CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES
coordonnées Xo,^o» ^oi et soit Q(^i,yi, Zt) un point infiniment voisin de P et non situé sur la surface; une sécante quelconque, menée par Q, et non parallèle au plan tangent en P, coupe la surface en un point M voisin de P; on demande la valeur principale de la longueur infiniment petite QM, l'infiniment petit principal étant la distance PQ.
Si X, [JL, V sont les cosinus directeurs de MQ, et x^ y^ z les coordonnées de M, on a
^1 — ^ yi — y Zj — z
rf= QM étant la longueur dont on demande la valeur principale. On tire de là x = j:i — Xd ; ^ = . . . ; 5 = . • . , et, en portant ces valeurs dans l'équation /(x, ^, ^) = o de la surface, on obtient la relation
I =/(^i,jKi, 5i)-«^(X/;.-+-(x/;^+v/:j4-e/»( ),
en admettant que Ton puisse appliquera la fonction /"(jTi — Xrf, ...) la formule de Taylor, réduite aux trois premiers termes.
Le point Xi^ y^^ z^ (Q) étant inflniment voisin de^oi J^oî'5o(P)i les valeurs principales de /;^. /^',, /,', sont/^,, f'y,^A.\ la valeur principale du coefficient de d est ainsi (î^/x,H- \'-/y.'^"^/'zo) • celte quantité n'est pas nulle, car son évanouissement exprimerait que la direction X, u, v de la sécante est parallèle au plan
qui touche la surface en P(*), et celte livpotlièse a été expressément écarléc. Dans le dernier membre de (i), les termes principaux sont donc, puisque le terme en d'^ est négligeable devant le terme en rf,
d'où l'on tire
Valeur principale de a = r— ^"^ —77 —,
(• ) Ce raisonnement suppose que /p^, /y^, /j^ ne sont pas nuls à la fois, donc, comme on sait, que P est point simple de la surface, ainsi qu'on l'a admis.
ce qui montre, puisque le dénominateur n'est pas nul, que d est de l'ordre de /(Xi^ y^^ z^).
En particulier, la distance du point Ç^à la sur/ace, comptée sur la normale issue de Q, est de l'ordre de /{Xi^y^j z^).
De même, la distance à une courbe plane, /{^j y) = o, d'un point ^1, yt, infiniment voisin de la courbe, est de l'ordre de
Remarque, — L'équation de la surface /(j:, j^, 5)==o peut se mettre sous une infinité de formes; par exemple, en supposant que / soit un polynôme entier, la surface /= o sera également représentée par f^=^ o, a étant un nombre positif quelconque. Il semble alors, d'après la théorie précédente, que la distance d soit de l'ordre de y**, résultat absurde, puisque a est quelconque. Mais on doit observer que : i® si a est supérieur à l'unité, les dérivées partielles premières de f^ s'annulent en tout point de la surface y= o, et en particulier au point 0:0,^01 ^ot hypothèse que l'on a écartée dans le raisonnement précédent; 2® si a est inférieur à l'unité, les dérivées partielles deviennent infinies au même point, et l'application faite de la formule de Taylor n'est plus légitime.
34 i. Distance à une courbe gauche d'un point infiniment voisin.
— Soit, sur une courbe gauche,
un ço'misimple P( j:o,^>'o ? ^o){/ig- 87 ) ; par un point Q{Xi ,yi , Zi ), voisin de P et non situé sur la courbe, on mène une sécante QM
Fi" S-
Q (jCut/t^J
coupant celle-ci en un point M voisin de P; on demande la valeur principale de la distance QM, en supposant que la sécante n'est pas parallèle à la tangente de la courbe au point P.
Gardons les notations du numéro précédent; il vient de même,
