CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES

en désignant par d la dislance QM,

Les valeurs principales des coefficients de d sont

une au moins de ces quantités n'est pas nulle : car, si la première par exemple était nulle, la direction X, a, v de la sécante serait parallèle au plan tangent de la surface /(x, y, ^) = o au point P(jCo, ^Oî ^o); Tévanouissement des deux quantités indiquerait donc que la sécante est parallèle à l'intersection des plans tangents en Paux surfaces /= 0,^=0, c'est-à-dire à la langente de la courbe C, ce qui est contraire à Thypothèse (*).

Supposons, par exemple, X/^^-^ . • • <^î l'équation (a) se réduit, en ne gardant que les termes principaux, à

ce qui montre que d est de Tordre de /(^i, J^i, z^). De môme si X^^^-|-.. . ^o, rf est de l'ordre de g{ocs^ l'i, ^i), qui est, dès lors, le même que celui Ae f{x^^ y^y Zt ). Mais si Xgj-^-h ... = o, le coefficient de d, dans l'équation (3), est infiniment petit, et cette équation montre alors que ^(^i,j>'i, ^i) est d'ordre supérieur à rf, c'est-à-dire à /(^n^i, 5,).

Il résulte de là que, dans tous les cas, d est l'ordre de celle des quantités y*(jF|,^i, Zi) et gi^i^yt, ^1) dont Tordre est le moins élevé, c'est-à-dire de la plus grande de ces quantités, en valeur absolue.

En particulier, la distance de Çlà la courbe, comptée sur la

( ' ) Ce raisonnement suppose :

1» Que Z;^, fy^, /i, (et de même gj.^, g'y^y g',^) ne sont pas nuls à la fois et, par suite, que P est un point simple sur les deux surfaces / = o, ^ = o;

2" Que les plans tangents en P à ces deux surfaces sont distincts, c'est-à-dire que celles-ci ne se touchent pas en P.

Or, si Tune ou l'autre de ces conditions n'était pas remplie, la courbe commune aux surfaces / = 0^ g = 0 aurait un point multiple en P, cas qui a été écarté.

3jO TfiOISlÉME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

normale menée de Q, est de Tordre de la plus grande, en valeur absolue, des deux quanlités'/(j:4,j^4, 5|), 5'(^i,J'm Zi).

345. Définition du contact. — Soienl C et C| (Jig- 88) deux courbes ou surfaces pour lesquelles P est un point commun, simple sur chacune : si la distance à C d'un point quelconque Q,

Fig. 88,

infiniment voisin de P, pris sur C|, est d'ordre n + i par rapport à la longueur PQ, on dit que C| a, avec C, un contact d'ordre n au point P.

Le contact d'une courbe et de sa tangente est un exemple de contact du premier ordre.

3i&. Contact de deux courbes planes. — C étant la courbe

et la courbe C^ étant définie par

cherchons les conditions analytiques du contact d'ordre n en un point P : désignons par ^y, yo les coordonnées de P, par X|, yi celles de Q. La distance de Q à la courbe C est (n° 313) de l'ordre de /(Xi, y s ) ; tout revient donc à exprimer que f{j'^\^yi) est d'ordre n -H i par rapport à PQ. Or, si /o ^^ ^\ sont les arguments qui répondent aux points P et Q sur la courbe C| , on a

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