CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES. 35l

Le point P étant supposé simple surCi, f'(^o) et '^(^0) ^^ sont pas nuls à la fois (n** 341 ) ; donc PQ est de l'ordre de /< — /q, et Ton a dès lors à écrire que /(^i, J'i) est d'ordre (/i 4- 1) par rapport k tt — Iq, Or, si l'on pose pour abréger

on aura, en admettant que la formule de Taylor, réduite aux n -f- a premiers termes, soit applicable à la fonction F(/), au voisinage de toj

Pour que le dernier membre soit d'ordre n -{- i en ti — /q? i' faut et il suffît que Ton ait

soit, en tout, (n -\- i) conditions.

De là cette Règle :

Pour exprimer que la courbe C| , j? = 9(0, J^ = ^(0? '^y cwec la courbe C, f{^, y) = o, un contact d'ordre n -\-i au point d'argument toj on remplace, dans le premier membre de l'équation de C, œ et y par leurs valeurs o(t) et ^{t) relatives à Ci, et l'on écrit que la fonction de t ainsi obtenue s'annule, avec ses n premières dérivées, pour t = to,

347. Remarque. — Les deux courbes C et C| se traversent ou ne se traversent pas au point P selon que le contact est d'ordre pair ou impair. En effet, soit ^1, Vi un point de C|, voisin de P, et répondant à l'argument /i=:/j,-f-£; si Ton substitue jTi, j^i k jc^ y dans le premier membre, J\Xy y)j de l'équation de la courbe C, le résultat est F(/|), c'est-à-dire

quantité dont la valent* principale est

35u TROISIEME PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

On voit ainsi que F{t^)', c'est-à-dire /(^n ^i), change ou ne change pas de signe avec e, selon que n -\- i est impair ou pair En d'autres termes, les deux points de C| {Jig» 89 et gr ) hut

Fig. 89.

io-e

XV^-^c.

les arguments sont Iq — s et ^o-f-e» et qui sont situés sur cette . courbe, de part et d'autre de P (n** 342), sont de part et d'autre de la courbe y*(x,j^)=: o ou du même côté de cette courbe, selon que n -f- i est impair ou pair. Donc enfin, si n est pair, les deux

Fig. 90.

courbes C et d se traversent {/ig- 89), et si /* est impair, elles ne se traversent pas au point P {^/îg. 90).