CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT*, ENVELOPPES
seconde aura, avec la première, un contact du même ordre en ce point.
En vertu des conditions (4), pour un contact d'ordre un, les deux courbes C et C| ont, au point donné, la même tangente; pour un contact d'ordre deux, elles ont en outre (n° 71) le même centre de courbure O; pour un contact d'ordre trois (ibici,)y leurs développées, qui se touchent en O, ont même centre de courbure Oi en ce point; et ainsi de suite. En d'autres termes, les centres de courbure des deux courbes et ceux de leurs développées successives sont les mêmes, de telle sorte que, pour un contact d'ordre n, les (n — i) premiers centres de courbure, correspondant au point de contact, soient confondus.
Observons enfin que si les courbes C et d sont données par
/(^,JK) = o, Moc, Y)---o,
les conditions du contact d'ordre /^, au point x^ y^ sont toujours les équations (4), où j^', . . ., j^''. Y', ...,¥'* désignent les dérivées successives de ^ et Y par rapport à x^ dérivées qui se déduisent sans difficulté des équations des deux courbes (n°66).
Corollaire. — D'après les équations (4), si deux courbes ont en un point, avec une troisième, un contact d'ordre /i, elles ont entre elles un contact d'ordre n au même point.
3-i9. Contact d'une courbe gauche et d'une surface. — Supposons que C soit la surface
et Cl la courbe gauche
Soient encore jCq» J^o? -^o les coordonnées de P ; x^^ y s , z^ celles de Q; t^ et t% les arguments de P et Q sur la courbe C|.
Il faut, pour qu'il y ait contact d'ordre n entre C et C| «tu point P, que/(j:i,^i, z^) soit d'ordre {n -+- i) par rapport à PQ; or, la valeur principale de PQ est évidemment
de sorte que PQ est de l'ordre de ^i — Iq : on écarte le cas où l'on H. 33
aurait à la fois o'{lo)= 'Y{to)='/^'{to)= o, parce qu'alors le point P ne serait pas simple sur la courbe C| (n" 341). En posant
on a, comme au n" 346,
fKXuXu -1^ = F(^) = F(/o)-^(/i— /o)F'(/o)-4-...;
et, pour que le dernier membre soit d'ordre (/i -t- i) en /| — /o> i' faut et il suffit que Ton ait
en tout (/« -f- i) conditions. On en déduit une Règle toute semblable à celle du n** 346, et qu'il est inutile d'énoncer.
On voit, comme dans la Remarque du n** 347, que la courbe et la surface se traversent ou ne se traversent pas, selon que le contact est d'ordre pair ou impair.
