Contact de deux surfaces. — Soient C la surface

et C| la surface

Soient ^Q, j^o, Zq les coordonnées de P; ^j, j^i, ^i celles d'un point Q, infînimcnt voisin de P, dans une direction quelconque^ sur la surface Cj : la distance de Q à C étant de Tordre de Ji^i>yij 5i)> >1 faut, pour qu'il y ail contact d'ordre n entre C et C| au point P, que y(^i,^i, 5|) soit d'ordre n-H i par rapport à PQ. Or, si Wq, i'o et Mi , v^ sont les valeurs des paramètres u, V qui correspondent à P et Q sur la surface Cj, on a

d'où l'on tire, pour la valeur principale de PQ, une expression p de la forme

en posant, pour simplifier,

Je dis que si Ton regarde u^ — Uq et v^ — i^o comme du premier ordre, p est aussi du premier ordre, quelle que soit la valeur réelle

du rapport ^ ^ ° : en effet, il ne pourrait en être autrement que

pour les valeurs de ce rapport qui annulent le trinôme sous le radical, mais il est aisé de voir que ces valeurs sont imaginaires. Formons, en effet, la quantité MP — N^; d'après une formule classique de Lagrange, on a

MP - N«= {?;,^;,- o^^'„^'^ (?;.„x'.o- ?;x;j'-^ iVuX'- ^Wù.y^

et le second membre est essentiellement positif, ce qui démontre la proposition ('), c'est-à-dire que PQ est toujours du premier ordre en u^ — Uq^ v^ — i\,

(') IMP — N- pourrait toutefois être nul si les trois carrés étaient nuls, c'csl-

à-dirc si Ton avait

o' ~ 6' ~~ y' * En ce cas, le point P ne serait pas simple sur la surface C, (n* 341).