CHAPITRE 1. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES. SSj
Il faut donc finalement exprimer que /{xt, y^^ Zi) est d'ordre n -h I par rapport k u^ — Uq^ ç^ — Vqj considérés comme du premier ordre.
Or, si Ton pose
on aura, par la formule de Taylor relative au cas de deux variables indépendantes,
et les conditions du contact d'ordre n seront dès lors
F(Mo, t'o) = o, f;,^ = o, f;,, =0,
Fi"? = O,
soit, en tout, i
lions.
De là cette Règle :
. . . -i- (/i H- i) = condi'
Pour exprimer que la surface Cj :
a, avec la surface C :
I//1 contact d^ ordre n au point d^ arguments u^et v^^ on remplace, dans le premier membre de C équation de C, x^y et z par leurs x^aleurs ç(w, i^), ^(w, i^), /(w, i^), relatives à C^ et Von écrit que la fonction de w, v ainsi obtenue s^ annule, avec toutes ses dérivées partielles jusqu^à C ordre n inclus, pour u = //o, v= Vq,
333. Si les équations de C et Cj sont données sous la forme z = z{x^y) et 5 = Z(^, j^), on rentrera dans le cas précédent, en posant, pour Ci,
et les conditions du contact au point x^ y s'écrivent, en remplaçant u et V para: et^,
dz àZ dx de
dz
dx* dx* dx dy dx dy dy* dy^
()«5 d"Z d^z d^Z df^z ()«Z
dx'*^ dx'^ dx'^-^dy dx'*-^dy dy^ dy^
Ces conditions sont symétriques par rapport aux deux surfaces: on en déduit que si deux surfaces ont, en un point, un contact d'ordre n avec une troisième, elles ont entre elles un contact d'ordre n au même point.
D'après cela, en désignant par p^ q^ r, 5, t les dérivées partielles premières et secondes de z par rapport à a: et y^ il faut, pour le contact du second ordre, que les deux surfaces aient, pour un système de valeurs de x^ y^ mêmes valeurs de 5, /?, q^ r, 5, /, et réciproquement. On peut dire aussi qu'en un point commun aux deux surfaces, il y aura contact du second ordre si /?, q^ r, 5, t sont les mêmes en ce point pour les deux surfaces. Pour le contact du premier ordre en un point commun, il faut el il suffit que/? et q^ c'est-à-dire les plans tangents, soient les mêmes.
Sol. Corollaire. — Une transformation de contact change deux surfaces qui ont entre elles, en un point, un contact d^ ordre n en deux surfaces qui ont également, entre elles, un contact d^ ordre n.
Car si :; = f{x, y) el7j = F(X, Y) sont deux surfaces transformées l'une de l'autre, les coordonnées X, Y, Z du point qui répond à un point Xy y, z sont fonctions de x^y^ Zj pj q; et, de plus, les dérivées partielles d'ordre quelconque de Z en X et \ sont des fonctions de x^ y, z et des dérivées partielles de z en X et j^ jusqu'au même ordre (n° 108).
Donc, à deux surfaces pour lesquelles, en un point x,y^ z^ les valeurs des dérivées partielles homologues de ;; sont les mêmes jusqu'à l'ordre n inclus, correspondent deux surfaces pour
