II. - ENVELOPPES DES COURBES PLANES ET DES SURFACES

Enveloppe d' une famille de courbes planes,

356. Rappelons brièvement les résultats établis dans le (^ours de Mathématiques spéciales.

Soit/(a:, j^, X)= o l'équation d*une famille simplement infinie

36o TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS GKOMÉTRIQUES.

de courbes planes, X désignant un paramètre, variable d^aoe courbe à l'autre. Une de ces courbes, répondant à la valeur cda paramètre, /(^, ^, c)=o, est coupée par la courbe infiniment voisine /(a:, j^, c-}-rfc)=o, en des points dont la position limite s'obtient comme il suit. Si l'on tient compte de /"(j?, j^, c)=o, l'équation /(x,j^, c -f- dc) = o s'écrit, après division par de,

o =/c(ir, y,c)-\--^ dc/J^(x, j^, c H- 0 €lc),

et, à la limite, en faisant dc=o, on voit que les points considérés sont à l'intersection des deux courbes

(i) /(ar,7,c)=o, fc{op,y,c)^o.

Le lieu de ces points, dits points caractéristiques, se nomme V enveloppe des courbes données ; son équation s'obtient en éliminant le paramètre c entre les deux relations (i). On démontrerait aisément, parla méthode qui sera appliquée plus bas, au n^ 359, que :

U enveloppe est tangente à chaque enveloppée aux points caractéristiques situés sur celle-ci (* ).

Remarques, — i° Si les courbes proposées ont des points multiples, la courbe obtenue en éliminant centre les équations (i) comprendra, en dehors de l'enveloppe, le lieu de ces points multiples. (>ar les coordonnées x ^i y d'un point multiple de la courbe /{x^ y^ c)= o sont des fonctions du paramètre c, qui vérifient identiquement les relations

et aussi celle que l'on obtient en dérivant la première par rapport au paramètre, à savoir

d.r de ôy de de '

(') On pourrait aussi chercher directement s'il existe une enveloppe, c'està-dire une courbe à laquelle toutes les courbes données restent tangcates; en raisonnant comme on le fera au n* 3GÎ, on trouverait encore que l'équation de Tcnvcloppe s'obtient en éliminant c entre f = o et /^ = o.