CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES. 36l

équation qui, en tenant compte de (2), se réduit k f^ = o. Ainsi, les points multiples des courbes proposées satisfont, comme les points caractéristiques, aux relations /= o, /^ = o, et le lieu de ceux-ci comprendra dés lors le lieu de ceux-là.

2** L'enveloppe des courbes /(o:, y, X, [x)= o, où )i et [x sont deux paramètres liés par l'équation o(X, [Jt.)= o, s'obtient par la règle précédente. Considérons a comme fonction deX; on devra joindre k f{x^ y^\^ [jL)=ro la relation obtenue en annulant la dérivée du premier membre par rapport à X, à savoir

Mais l'équation de liaison, cp(X, [a)== o, dérivée par rapport à X, donne

d'où, en éliminant -^ entre (3) et (4),

^^ dX dii ()|ji c)X "

On obtiendra donc l'équation de l'enveloppe en éliminant X et (x entre les équations /= o, cp = o et la relation (5).

Enveloppe d^iine famille de surfaces simplement infinie.

337. Déânitions. — Dans le cas d'une famille de surfaces, deux cas sont à distinguer, selon que cette famille est simplement ou doublement infinie, c'est-à-dire selon que son équation générale contient un ou deux paramètres variables. Nous traiterons d'abord le premier cas.

Considérons les surfaces représentées par l'équation

où X est un paramètre variable. Une de ces surfaces, répondant à la valeur c du paramètre, et que nous appellerons la surface c,

coupe la surface infiniment voisine c -f- rfc,

(2) fi^^Xy -. C-i-dC) = 0,

selon une courbe représentée parles deux équations (i) et (2), et dont il est aisé de trouver la position limite. En effet, en tenant compte de (i) et divisant par rfc, Téquation (2) s'écrit :

(3) o = /;(jr, ^', 5, c)-h -dcfl^{x,y, z, c -¥- Q de),

et, à la limite, pour de = o, la courbe considérée a pour équations

Ou la nomme caractéristique. Par définition, Venveloppe des surfaces (i), dites em^eloppées, est le lieu des caractéristiques (4); on obtient donc Téquation de l'enveloppe en éliminant c entre les deux équations (4).

358. La caractéristique qui correspond à l'enveloppée c. ei qu'on appellera caractéristique c, coupe l'enveloppée infiniment voisine (c + de) en des points donnés par les équations

f{x,y, c, c) = o, fM^y^ -» c) = o, /{ac^y, -, c-^dc) = o.

Or, la dernière équation s'écrit, en tenant compte des deux premières, et en divisant par de , I de

de sorte (jue, à la limite, les points considérés sont donnés par les trois équations

Le lieu de ces points, dits />om/5 caractéristiques, et dont on obtient l'équation en éliminant c entre les trois relations (5), est une courbe, évidemment située sur l'enveloppe, et qu'on nomme arête de rebrous se ment de cette enveloppe.

Il y a, sur chaque caractéristique c, un certain nombre de points