CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT', ENVELOPPES
caractéristiques qui sont donnés par les solutions, en x^ r, z, communes aux trois équations (5).
359. Théorème I. — Chaque enveloppée est tangente à l'enveloppe tout le long de la caractéristique correspondante ,
Soit l'enveloppée /(:c, ^, 2, Co)= o; prenons un point quelconque P, de coordonnées x^^ yoy ^o? sur la caractéristique Cq correspondante; on a
Désignons par x^^ y^^ Zs un point Q de l'enveloppe, voisin de ^o>>^Oï «207 et d'ailleurs quelconque; pour établir la proposition, il faut, d'après la théorie du contact, montrer quey*(x<,yi, Ci, c©) est du second ordre par rapport à la distance PQ.
Or Q, étant sur l'enveloppe, est sur une caractéristique C| , voisine de la caractéristique Cq] en sorte qu'on a
(7) A^uy\. -i,<?i) = 07 fvi^\^yu 5,,c,; = o.
Alors on peut écrire
= /(^i,ri»-i» Ct)-i-(co— Ct)/^(a?t,7,, 5,, c,) -h -(co-c,)ï/A(^i,7i» -Il Ct)-4-...,
et l'on voit ainsi, en tenant compte de (7), que /(oti, j'i, -34, Co) est du second ordre en (cq — c<). Tout se réduit alors à établir que la distance PQ est du premier ordre au plus en Cq — C| ; or, la seconde des relations (7) s'écrit
o = /,!(a7i,7,, zu Cl)
Le premier terme, fd^^o^ J'o^ ^oj ^0)) ^^t nul d'après (G); il résulte alors de cette équation (en excluant le cas particulier où fc^i^oj yoj ^0 ^0) serait nul, c'est-à-dire où le point P serait sur Taréte de rebroussement) que Xi — Xq, yi — j^o ^^ *»! — -^o ^^
peuvent être tous trois d'ordre supérieur à Cq — C| (*). Donc la dislance PQ, qui a pour expression
PQ = vA^i — a"o)»-+-(ri-ro)'-^(-5| — ^o)S
quantité plus grande en valeur absolue que Wi — j?q, yi — y^^ Zi — Zqj ne peut être d^ordre supérieur k Cq — Ci ; PQ est donc du premier ordre, au plus, en Cq — C|, ce qui établit le théorème.
360. Théorème II. — L'arête de rebroussement a un contact du premier ordre avec chaque caractéristique (c) aux points caractéristiques situés sur celle-ci; elle a, aux mêmes points y un contact du second ordre avec V enveloppée correspondante (c).
Soit Cq la valeur du paramètre qui correspond à une enveloppée; désignons par P(j:o7 J^o? ^o)"" des points caractéristiques situés sur la caractéristique Cq \ on a
(9) /(^o,ro,-5o,co) = o, /;(a7o,7o,-3;o,co) = o, yjt(a?o,ro» «o, Co) = o.
De même, si C| est le paramètre d'une enveloppée intiniment voisine, la caractéristique C| aura un point caractéristique Q(a7j, j^4, Zi) infiniment voisin de P, et l'on aura de même
(10) /(3ri,^i,;;,,c,) = o, /c(a7i,j^i,Si,c,) = o, /^.(a?!,^,, Zj, c,) = o.
Je dis que l'arête de rebroussement a, au point P, un contact du second ordre avec l'enveloppée y(x,^, z^ Co) = o, et un contact du ])remier ordre avec la caractéristique Co :
f{x,y, z, co) =fc{x,y,z, Co) = o;
il suffit, pour cela, d'après la théorie du contact, d'établir que les quantités
fi^u yu ^ly Co) et /[.(^u y\, Zi, Co)
(') Car si x,— Xo, y, — >'o, 5, — Zo étaient d'ordre supérieur à Ci— c^, il y aurait dans l'équation (8) un seul terme d'ordre plus petit que tous les autres, à savoir (r, — Co)/Ji : ce terme ne pouvant se réduire avec aucun autre, le dernier membre de (8) ne pourrait être nul.
