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et l'on voit ainsi, en tenant compte de (lo), que /(^i,J'i, -Si, Cq) el/^{Xif y^^ ^4, Cq) sont respectivement du troisième et du second ordre en c„ — C|.

Tout se réduit dès lors à établir que PQ est au plus d'ordre un par rapport à c© — C|. Or la troisième des relations (lo) donne

le premier terme, /c«(xo, ^o? ^ot ^u)? est nul d'après (9); on en conclut, comme au numéro précédent, el en supposant

/cU-^oO'»» ^Oî Co)^o,

c'est-à-dire en excluant certains points particuliers de l'arélc de rebroussemcnt, que Xi — »ro, jKi — JKo? ^i — ^0 ne peuvent être à la fois d'ordre supérieur à Cq — c^. Par suite, PQ est au plus du premier ordre en Cq — C|, ce qui établit le théorème.

361. Surfaces développables. — Une surface développable est, par définition, l'enveloppe d'un plan mobile dont l'équation contient un paramètre. Les caractéristiques, intersections d'un plan et du plan infiniment voisin de la famille, sont des droites. Sur chaque caractéristique, il n'y a qu'unpoint caractéristique, puisque les trois équations (5) représentent trois plans, qui n'ont qu'un point commun. D'après le théorème II, chaque droite caractéristique touche en un point une courbe gauche, Varête de rebroussemcnt de la développable. On peut donc dire qu'une surface développable est le lieu des tangentes d'une courbe gauche.

Les tliéorèmes I et II montrent, en outre, que chaque plan de la famille touche la surface développable tout le long d'une droite (caraclérisllque), et qu'il a un contact du second ordre avec l'arête de rebroussement, au point où celle-ci est touchée par la caractéristique correspondante.

Pour les cônes, l'arêle de rebroussement se réduit à un point, le sommet.

Remarque, — La polaire réciproque d'une surface développable, c'est-à-dire de l'enveloppe de plans en nombre simplement infini, est le lieu des pôles de ces plans, c'est-à-dire une courbe. Réciproquement, la polaire réciproque d'une courbe quelconque est Tenveloppe des plans polaires de la courbe, c'est-à-dire une développable.

Cela posé, nous avons établi que les caractéristiques d'une développable quelconque, A, sont les tangentes d'une courbe gauche, C: transformons ce résultat par polaires réciproques. A la développable A correspond une courbe, y; aux caractéristiques de A, intersections de deux plans tangents à A et infiniment voisins, répondent des droites joignant deux points voisins de y, c'est-à-dire les tangentes de y. De même, aux tangentes de la courbe C répondent les caractéristiques d'une développable, S. Le théorème envisagé, à savoir que les caractéristiques d'une développable quelconque A sont les tangentes d'une courbe C, se transforme donc en celui-ci : Les tangentes d'une courbe gauche quelconquey y, sont les caractéristiques d'une développable, 5; ainsi :

Toute déK^eloppable est le lieu des tangentes d'une courbe gauche; inversement, les tangentes de toute courbe gauche engendrent une développable.

On reviendra sur ce théorème, au point de vue analytique, au 11° 387.

362. Surfaces enveloppes de sphères. — Dans une famille simplement infinie de sphères, les caractéristiques, intersections de deux sphères infiniment voisines, sont des cercles; donc chaque sphère touche l'enveloppe suivant un cercle qui est la caractéristique correspondante. Sur chaque cercle caractéristique il y a