CHAPITRE I. — THEORIE DU CONTACT; ENVELOPPES. 36y

deux points caractéristiques, puisque les trois sphères (5) ont deux points communs à distance finie. Par suite, chaque cercle caractéristique touche en deux points une courbe fixe (arête de rebroussement), et la sphère enveloppée correspondante a un contact du second ordre avec cette courbe aux deux mêmes points.

Enveloppe d'une famille de sur/aces doublement infinie.

363. Soient maintenant les surfaces, en nombre doublement infini, représentées par Téquation

où À et [JL sont deux paramètres. Une de ces surfaces (X, jjl) coupe une surface infiniment voisine (X-rrf)>, y. -\- d^) le long de la courbe représentée par les équations

La seconde s'écrit, en tenant compte de la première, et en appliquant une formule du n° 33,

et, à la limite, on voit que les deux surfaces considérées passent, quel que soit le rapport de dk à rf[x, par les points déterminés par les trois équations

En d'autres termes, une des surfaces (i i) et toutes les surfaces infiniment voisines de la famille passent par les points (is>.);le lieu de ces points, d'il?, points caractéristiques y se nomme V enveloppe des surfaces de la famille : ce lieu est une surface dont l'équation s'obtient en éliminant X et a entre les trois équations (la).

Théorème. — Chaque enveloppée touche V enveloppe aux points caractéristiques correspondants.

On le démontrerait par une méthode semblable à celle du n**3o9.

Exemple. — Une surface est Tenveloppe de ses plans tangents qui sont en nombre doublement infini, lorsque la surface n'est pas développable.

Les points caractéristiques, au nombre de un par plan, sont les points de contact des plans tangents.