III. ~ ENVELOPPES DE COURBES DANS L'ESPACE: CONGRUENGES

36 i. Famille simplement infinie. — Soient les courbes gauches

dont les équations dépendent à^un paramètre a. Elles engendrent une surface, dont on obtient IV^quation par Télimination du paramètre, mais en général elles n'admellent pas d'enveloppe proprement dite, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de courbe fixe à laquelle toutes les courbes de la famille soient tangentes.

Supposons, en cfTet, qu'une pareille courbe existe, et soient x, y^ z les coordonnées du point où elle touche la courbe (i) de paramètre a : ces coordonnées sont des fonctions de a, que nous désignerons par :r(a), J^(a), x;(a), et la courbe cherchée sera représentée paramétriquemenl par :r:=:x(a), ^=^(a), 5 = 5(a). En écrivant que le point de contact considéré est sur la courbe a, nous obtenons d'abord les deux équations

(2) /[^(a), >'(a),z(a),a] = o, «pla?(a), ..., a] = o.

Exprimons maintenant que les tangentes en ce point à la courbe fixe et à la courbe a ont même direction : les paramètre^ directeurs étant pour la première tangente (n° 340)

et pour la seconde, qui est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces (i).