CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES

les conditions de parallélisme s'écrivent

^a JoL -'«

en supposant, dans les numérateurs, x^ y ^X, z remplacés par j:(a), j^(a), .3(a). On a ainsi, pour déterminer les trois fonctions inconnues x^ y, z du paramètre a, les quatre relations (2) et (3), ce qui montre, a priori, que le problème ne doit pas avoir de solution.

On peut remplacer le système (2), (3) par un système plus simple, ne contenant plus les dérivées des fonctions inconnues. Car, en dérivant par rapport à la variable indépendante, a, les relations (2), on trouve

(4) fx^ai-^fyyoi-^fz^'a'^f^= o, ?'ara:'a-H. . .-4- ç;= o,

et, si Ton utilise les valeurs proportionnelles de ^a, y'g^y z^ fournies par (3), il reste

équations qui peuvent remplacer les équations (3) : car (2) et (3) entraînent (2) et (5), comme on vient de le voir; inversement, (2) et (5) entraînent (3), puisque (2) entraîne (4), qui, si l'on tient compte de (5), donne évidemment (3).

En d'autres termes, il reste, pour déterminer les trois fonctions inconnues ^(a),^(a), ^(a), les quatre relations

i /(^i r» -5, a) = o, <p(ar, 7, 5, a) = o,

L'élimination de ^(a), jK(a), >s(a) donne une équation F(a)= o, qui doit être vérifiée identiquement pour que l'enveloppe existe. Dans ce cas, les équations (6) se réduisent à trois et donnent ^(a), j^(a), ^(a), c'est-à-dire les coordonnées paramétriques d'un point de l'enveloppe; au contraire, si F(a) n'est pas identiquement nul, il n'y a pas d'enveloppe.

365. Remarque. — Considérons la courbe a -|- rfa, d'équations

f{x,y,z, a4-rfa)=o, ?(a?,^,«, aH-rfa)=o, H. A

370 troisième: partik. — applications géométriques.

et développons y et tp, en nous bornant aux termes en doL :

Pour que celle courbe rencontre en un point la courbe a, d'équations y =: o, ç =zz o, il faut que les quatre équations

(7) /=o, 0 = 0, /i=o, cpa=o,

soient compatibles, quel que soit a, en x^ y^ z. Or ce sont précisément les équations (6). Par suite, la condition F(a)= o, qu'on obtient en éliminant ^, y et z^ exprime aussi qu'une courbe quelconque de la famille rencontre en un point la courbe infiniment voisine, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à rfa. Le lieu du point de rencontre est l'enveloppe trouvée plus haut, puisque les équations (^), qui définissent ce point, sont les mêmes que (6).