Famille doublement infinie; congruences. — Les courbes

dont les équations renferment deux paramétres a et p, forment ce que l'on nomme une congruence de courbes.

Je dis qu'elles sont toutes tangentes à une même surface. Soient en effet ^(a, P),y(a, p), ^(a, p) les coordonnées inconnues d'un point de contact de la courbe (a, [i) avec une surface fixe : celle-ci aura dés lors p'oiir équations paramétriques

Le point x(a, ^), ... étant sur la courbe (a, jâ), on a d'abord

(3) /[x(a, ?),..., a, p]=o, cp[ar(a, p), ..., a, p]=o.

Il faut maintenant exprimer qu'en ce point la tangente à la courbe (a, P) est tangente à la surface (2) au môme point.

Or, pour la tangente à la courbe (a, P) au point considéré, x^ y y z, les paramètres directeurs dx^ dy^ dz (n® 340) sont donnés proportionnellement par les relations

(4) dxfj,-\'dyfy-\' dzfl = o, dxo'^-x- dy^'y-^ dz^', = o.

D'un autre côté, pour une tangente quelconque à la surface (2), au point d'arguments a, P, les paramètres directeurs sont propoi^ tionnels (n° 340) aux quantités suivantes, le rapport d^ : rfa étant

3^7. TROISléSfE PARTIE. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

arbitraire :

ûs^g^doL-^Xf^d^, ya^di-i-y^d^, z'^d^i^z^d^.

On a donc, en substituant ces valeurs à dx^ dy^ dz dans (4), et, en éliminant le rapport d^ \ <ia,

C'est la condition qui exprime le contact de la courbe et de la surface au point ^(a, [3),^(a, j3), z(a, P). D'ailleurs, en dérivant les relations (3) par rapport aux variables indépendantes a et ^, on a:

de sorte que la condition (5) peut s'écrire

Cette équation peut remplacer (5), c'est-à-dire que le système formé par (3) et (5) équivaut au système (3) et (7) : en effet, (3)et(5) entraînent (7), comme on vientde le voir; inversement, (3) et (7) entraînent (5), puisque (3) entraîne (6), qui, si Ton tient compte de (7), donne (5).

En d'autres termes, le point x^y^ z où la courbe (a, P) touche la surface fixe est donné par les trois relations (3) et (7), à savoir

et l'équation de cette surface, en x^y^ z, s'obtient en éliminant entre elles les paramètres a et p.

368. Points et plans focaux. — En général, chaque courbe de la congruence touche en plusieurs points la surface fixe, car les équations (8), résolues par rapport à Xy y^ z, donnent d'ordinaire plus d'un système de solutions.