CHAPITRE 1. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES. SjS

Si, par exemple, les courbes sont les droites

(9) x^az-^-p, y=ibz^q,

OÙ a, 6, /?, q sont des fonctions données de a et p, Téquation /a?? — /^?a=o s'écrit

, , f da dp\/ db dq\ / da dp\ / db ùq\

Elle est du second degré en Zy de sorte que chaque droite d'une congruence touche généralement en deux points une surface, que l'on appelle surface focale. Les deux points de contact de chaque droite se nomment les points focaux de la droite; les plans tangents en ces points à la surface focale sont Xesàexm plans focaux. Pour obtenir les points focaux et la surface focale, on résoudra l'équation (10) en z^ ce qui donnera une expression de la forme

^=F(a,p)±/G(ï;yi,

et, en portant cette valeur dans (9),

On a ainsi les coordonnées x^ y, z des deux points focaux sur la droite (a, P), et, par suite, la représentation paramétrique des coordonnées d'un point de la surface focale.

Les noms de surface focale et de points focaux s'appliquent aussi à la surface que touchent les courbes d'une congruence quelconque, et à ses points de contact avec une courbe particulière de la congruence.

369. Remarque. — (Considérons, dans la congruence (i), les deux courbes (a, p) et (a-f-rfa, jâ-f-rf^); les équations de la seconde s'écrivent, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier,

Pour qu'elle rencontre la courbe (a, fi), c'est-à-dire la courbe f= o, '^ = o, il faut que l'on ait, pour un même système de

valeurs de 4^, y, z,

Ces quatre équations, à trois inconnues x,y, ^, n'ont en général aucune solution commune, c'est-à-dire qu'une courbe de la congruence et une courbe infiniment voisine, prise au hasard, ne se rencontrent pas. Mais si l'on considère le rapport d^ l doL comme une quatrième inconnue, les quatre équations (11) auront des solutions communes, c'est-à-dire qu'une courbe (a, ^) rencontre les courbes (a -h doL, ^ -j- rfj3), pour lesquelles d^ldcc a certaines valeurs, dépendant de a et de p. Les points de rencontre vérifient les équations que l'on obtient en éliminant dp : rfa entre les relations (11), c'est-à-dire

ce sont donc les points focaux situés sur la courbe (a, P), Ainsi, la surface focale peut encore être définie comme le lieu des points limites communs à deux courbes infiniment voisines de la congruence.

Deux courbes infiniment voisines, (a, p) et (a-f-rfa, ^-f-rf^), ne se coupent généralement qu'en un seul des points focaux : car les équations (i i) donnent pour les inconnues d^ l rfa, x,y^ z un certain nombre de systèmes de solutions

et, pour deux systèmes difl'érents, les valeurs de -^ ne sont généralement pas les mêmes : géométriquement, cela signifie qu'à une valeur ( ^ ) du rapport d^ l rfa, c'est-à-dire à une des courbes

infiniment voisines coupant la courbe (a, p), ne correspond qu'un système Xi^yi, 5/, c'est-à-dire un seul point de rencontre.

Exemple. — Appliquons ces résultats à une congruence de droites. Soient A et B les deux points de contact de la droite (a, P) avec la surface focale ; une droite voisine (a -h rfa, p -i- d^) passe par A, aux infiniment petits près du second ordre en rfa et rfp, et touche la surface focale en un point B', voisin de B, et évi-

CIIAPITRK I. — THÉORIE DU CONTACT; KNVELOPPES. SjS

demnient situé en dehors de la droite AB. Le plan des deux droites, c'est-à-dire le plan des trois points B, A, B', contient, à la limite, deux tangentes distinctes, BA et BB', de la surface focale au point B; c'est donc, à la limite, le plan tangent à cette surface en B, c'est-à-dire le pian focal en B. On voit ainsi que les deux plans focaux relatifs à la droite AB sont les plans qui passent par cette droite et par chacune des deux droites voisines de la congruence s'appuyant sur la première : on observera que le plan focal en un des points A et B est celui qui contient la droite voisine passant par l'autre.

370. Congpruences de* normales. — Les normales à une surface S forment une congruence, car l'équation de l'une d'elles dépend des deux paramètres qui déterminent, sur S, la position de son pied. Elles touchent donc, chacune en deux points, une même surface, qu'on appelle, par analogie, la développée de la surface S.

Réciproquement, une congruence quelconque de droites n'est pas une congruence de normales, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de surface normale à toutes ces droites.

Considérons, en effet, les droites

OÙ a, bj p , q sont des fonctions de deux paramètres a et p. S'il existe une surface S à laquelle elles sont normales, soient j:(a, P), j^(a, P), z{ol, P) les coordonnées du point d'incidence de la droite (a, j3); on a d'abord

(i3) a:(a, 3)= a z(ol, P)-^/?, ^(a, ^) = bz(<x, ?)-+-7,

et la surface S est représentée paramétriquement par

Exprimons maintenant qu'au point de S de paramètres a, [3, la normale est la droite (a, ^) de la congruence, c'est-à-dire que la direction a, 6, i est normale à tout déplacement dxj dy, dz sur la surface à partir du point a, ^ (n** 340). Comme on a

dx =■= Xg^ doL -H Xa d^f ....

la relation de perpendicularité est

a{x'g^ rfa H- arp rfp) -h b{y^ doL-^-y^ rfp ) -h 5^^ rfat -+- z^ d^ = o,

et cela quel que soit rfa : rf^. Donc les conditions cherchées d'orthogonalité sont

(i4) ax'g^-^ by^j^-^ Zg^— o, aa?p-f-6ypH-Vp=o,

et l'on a, pour déterminer les trois fonctions inconnues x^ y^ 5, les quatre relations (i3) et (i4)- H est aisé de trouver la condition exprimant que celles-ci sont compatibles, car, en dérivant les équations (i3) par rapport à a et ^, on obtient

x^ r=az^-^a^z -T-/?p, ^|j = . . . ,

d'où, en portant ces valeurs des ^', y' dans (i 4), pour les éliminer,

sjj(a*-+- 6*-t- i)-H^(aaJt-l- bb'g) ^ ap'^g^-^ bq'g^= o, 5Q(a*-h b*'^i)-h z(aaa-h bbu)-\- apa-r- bq'a =0,

ce qu'on peut écrire

On a ainsi deux équations, donnant les dérivées partielles, par

rapport à a et à p, de la fonction zy/a^-f- ô^-f- i; pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit (n" 327) que les deux valeurs

de T-Tô(^v^«^-h6^+ i) qu'on déduit de ces relations soient

égales. Donc

C'est la condition à laquelle doivent satisfaire les fonctions données, a, 6, /?, y, de a, j3, pour que la congruence (12) soit une congruence de normales. Si elle est vérifiée, les équations (i5)

fournissent les deux dérivées partielles de ^y/a^-h 6^-1-1, et, par