CHAPITRE I. — THÉORIE DU CONTACT; ENVELOPPES

suite, on aura (u° 327)

en supposant a remplacé par ag dans la fonction qui figure sous le second signe de quadrature. Cette équation donne la fonction 5(a, P). Les fonctions ^(a, P) et^(a, j3) seront ensuite fournies par (i3), et l'on connaîtra ainsi la représentation paramétrique d'une surface S à laquelle les droites (12) sont normales. Cette surface dépendra d'w/i paramètre arbitraire (n" 327, note) introduit par la formule (17); en faisant varier le paramètre, on obtient évidemment une famille de surfaces parallèles.

Remarque. -^ Je dis que la condition (16) exprime que les deux plans focaux relatifs à une droite quelconque de la congruence sont rectangulaires. Comme elle est, par sa nature même, indépendante du choix des variables indépendantes a et p, nous prendrons pour a et ^ les coordonnées du point où une droite quelconque de la congruence rencontre le plan des xy\ on a alors

et la condition (16), tous calculs faits, se réduit à

/ .. V àa , ,.^ db , ^ ,fàa db\

Soit alors d la droite (a, P) de la congruence :

a7=a5-Ha, y = bz ~\-^\

pour que la droite d' infiniment voisine (a -\- dcLj p -f- d^) : X =(a-h da)z -i-a-r- da, y ={b -h db)z -r- ^j^ -^ d^,

rencontre rf, il faut et il suffît que l'on ait

da d^ — db da = o,

c'est-à-dire

OU, en posant rfj3 : ûfa= /w,

^da ( da dh\ àh

Un plan focal relatif à la droite d passe par d et par la droite rf' (n° 369); c'est donc le plan mené par d et par le point X = a -h ûfa, y = p -f. rf^, 5 = 0, trace de rf' sur le plan des xy\ il a dès lors pour équation

d^i^x — az — a) — d%{y — bz — P)= o,

et, puisque d^ ', doL=i m^ il est parallèle au plan

mx — y -\-(h — ani)z = o.

En remplaçant m dans cette équation par chacune des deux racines /?i| et m2 de l'équation (19), on obtient (en direction) les deux plans focaux relatifs à d; pour qu'ils soient rectangulaires, il faut et il suffit que l'on ait

mi mj -+- I -H ( 6 — anii ){b — a/iij ) = o.

Or en substituant, dans cette relation, à la somme /7i| -+- m^ et au produit m I /7i2, leurs valeurs fournies par l'équation en m (19), on retombe sur la condition (iB), ce qui établit la proposition. Donc :

Pour qu'une congruence de droites soit une congruence de normales, il faut et il suffit que les deux plans focaux relatifs à chaque droite soient rectangulaires.