CHAPITRE II. — COUUBES PLANES

déduites de Téquation de la courbe donnée. On a alors

(7) ' •:.R=li^. -

ce qui est bien l'expression du raj^on du cercle osculateur obtenue d'une manière différente aux n®* 61 et 79.

Le contact du cercle osculateur et de la courbe étant d'ordre pair, le cercle traverse la courbe au point de contact (n*^ 347).

374. Développée. — La développée est le lieu des centres des cercles osculateurs aux divers points d'une courbe; son équation (relation entre a et ^) s'obtient en éliminant t entre les deux équations (5), ou, ce qui revient au même, entre les équations (3) et (4).

Or, l'équation (3), si l'on y regarde a et ^ comme les coordonnées courantes,

est celle de la normale à la courbe proposée au point x{t)^ y{^) î le premier membre de l'équation (4) est la dérivée, par rapport au paramètre ^, du premier membre de (3); donc, en éliminant / entre ces deux équations, on obtient Y enveloppe des normales ù la proposée. Ainsi, comme on l'a déjà vu géométriquement (n® 61 ) :

Le lieu des centres des cercles osculateurs coïncide avec V enveloppe des normales,

375. Courbure. — Elle a été définie au n° 58, et l'on a vu (n°" 61 et 79) qu'elle était l'inverse du rayon du cercle osculateur; on a donc

Les points pour lesquels x'y' — y a:f' est nul sont dits d* inflexion; le rayon du cercle osculateur y est infini, c'est-à-dire que ce cercle se réduit à la tangente, qui a dès lors trois points d'intersection confondus avec la courbe et traverse celle-ci au point de contact.