Différentielle totale d'une fonction composée. — Soit

une fonction de w, v^ w, qui sont eux-mêmes fonctions des variables indépendantes or, y. On aura, par la formule de définilion (9) :

dz = -r^ dx -h — ^ dy, dx c[/

et, par la théorie des dérivées :

dz dqp du do dv do div dx du dx di> dx dw dx

dz d^ du

dy du dy '

d'où

, ào /du , du , \ dv / dv . àv , \

3o PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

c'est-à-dire

dz = -- du -{- -^ dv ->r —^ dw ; ou ov ow

formule fondanienlale dans laquelle les variables indépendantes et leurs diflTérentielles ne figurent pas explicitement : c^est la même formule que dans le cas d*une seule variable indépendante [(équation (i), n" ^3].

On en déduit, comme au n" 23, quelles que soient les variables indépendantes et quel que soit leur nombre :

d(u -h V -h . . .) = du -h dv -}- , . . : d{uv) —v du -^ u dv;

d( uviv) — vw du -+- uw dv H- uv dw — us?w I 1 h - — ) ;

\ u V iV /

H dv — (' du

Ci) -^

ir-

d{u"') = /nu'"-^du.

d\oçru :

Corollaire. — Si des fonctions u, c, (v d'un nombre quelconque de variables indépendantes sont liées par la relation

quelles que soient les valeurs de ces variables, on en déduira, puisque la différentielle du premier membre est évidemment nulle,

t)'i , 0':> , do ,

o = — i- du -î di^ -\ dw,

Ou Ov Ow

quelles que soient les variables indépendantes et quel que soit leur nombre.

= aTi\

U, V, w, T étant fonctions des variables indépendantes et a une constante, on pourra, avant de différentier les deux membres, égaler leurs logarithmes népériens et différentier ensuite, ce qui donne

m logU H- n logV — q logW =/? logT H- loga,